基于全向感知和频率引导融合的海域图像去雾技术

《Digital Chinese Medicine》：Maritime image dehazing based on Omni-Directional Perception and frequency-guided fusion

　　变阶分数金融模型通过物理信息神经网络求解，有效捕捉了经济系统的非线性混沌特性，验证了L-BFGS优化器的收敛效率，并比较了数值方法精度。

　　在当今复杂多变的经济环境中，金融系统的动态特性往往呈现出非线性、记忆依赖以及混沌行为。这些特征使得传统的数学模型难以全面准确地描述金融行为，尤其是在面对长期趋势、市场波动以及投资决策的不确定性时。因此，近年来，基于分数阶微积分的模型逐渐受到关注，因其能够更好地捕捉这些复杂的动态特性。分数阶微积分是一种扩展的微积分形式，它允许对导数进行非整数阶的定义，从而提供更灵活的数学工具，用于建模具有记忆效应的系统。

在这一背景下，变量阶分数阶模型的引入成为研究的热点。与常数阶模型相比，变量阶模型能够根据时间或空间的变化调整导数的阶数，从而更精确地模拟实际金融系统的行为。这种灵活性使得变量阶分数阶模型在处理金融系统中的非线性相互作用、长期依赖以及复杂行为方面具有显著优势。然而，变量阶分数阶模型的求解仍然面临诸多挑战，尤其是在数值计算和预测能力方面。传统的数值方法虽然能够处理分数阶微分方程，但在计算效率、稳定性以及对非线性系统的适应性方面存在局限。因此，研究者们开始探索更先进的数值方法，以克服这些障碍。

Physics-Informed Neural Networks（PINNs）作为一种新兴的计算方法，已经在解决分数阶微分方程方面展现出巨大的潜力。PINNs结合了神经网络的强大拟合能力与物理定律的指导作用，使得模型能够在没有大量数据支持的情况下，仍然保持较高的预测精度。通过将物理约束嵌入到神经网络的损失函数中，PINNs能够在求解过程中自动满足系统的基本规律，从而提供更稳定、更精确的解。此外，PINNs的非网格特性使其在处理高维和复杂边界条件的问题时具有更大的灵活性。近年来，随着计算能力的提升和深度学习技术的发展，PINNs被广泛应用于分数阶微分方程的求解，尤其是在混沌系统和非线性动态系统的研究中。

在本研究中，我们采用基于L-BFGS优化器的PINNs方法，来求解一个变量阶分数阶金融系统。该系统包含了关键的经济指标：利率、投资需求和价格指数。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些指标之间的非线性相互作用，并揭示其在金融市场中的复杂行为。与传统的数值方法相比，PINNs不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的视角。

在研究过程中，我们分析了两种主要的系统类型：整数阶系统和变量阶系统。对于整数阶系统，我们设定所有导数的阶数为1，以模拟传统的金融模型。而对于变量阶系统，我们进一步探讨了三种不同的子情况，每种子情况对应不同的函数形式。通过这些子情况的分析，我们能够更好地理解变量阶分数阶模型在金融系统中的表现。此外，我们还通过可视化手段展示了不同子情况下的混沌行为，从而验证了模型的有效性。

本研究的创新点在于，通过将PINNs与分数阶微积分相结合，我们不仅能够求解变量阶分数阶金融系统，还能在没有大量数据支持的情况下，仍然保持较高的预测精度。这种方法为金融系统的建模和分析提供了一种新的思路，特别是在处理具有记忆效应和非线性相互作用的系统时。通过引入L-BFGS优化器，我们能够提高模型的收敛速度，从而减少计算时间并提高求解效率。此外，我们还通过实验验证了这种方法在不同子情况下的适用性，发现其在捕捉复杂动态行为方面具有显著优势。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地反映金融系统的非稳态特性。与传统的常数阶模型相比，变量阶模型能够根据时间或空间的变化调整导数的阶数，从而更精确地模拟实际金融行为。这种灵活性使得变量阶模型在处理金融系统中的不确定性、市场波动以及长期趋势时具有更大的优势。然而，变量阶模型的求解仍然面临一定的挑战，尤其是在计算效率和稳定性方面。因此，研究者们不断探索新的数值方法，以提高模型的求解性能。

在本研究中，我们通过基于L-BFGS优化器的PINNs方法，成功求解了一个变量阶分数阶金融系统。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，利率、投资需求和价格指数是关键的变量。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确地反映金融系统的复杂动态特性。此外，我们还通过对比实验，将PINNs方法与传统的RK-4方法进行了比较，发现两者在解的精度和计算效率方面具有相似的表现，但PINNs方法在处理非线性系统和混沌行为方面具有更大的优势。

在金融系统的建模中，除了利率、投资需求和价格指数，还有许多其他经济变量需要考虑。例如，储蓄金额、投资成本以及市场需求的弹性等。这些变量之间的相互作用往往呈现出非线性、记忆依赖以及复杂行为。通过引入变量阶分数阶微分算子，我们能够更准确地描述这些变量之间的动态关系，从而揭示金融系统中的潜在规律。此外，变量阶模型还能够反映金融市场中的非稳态特性，使得模型在处理长期趋势和市场波动时更加灵活和有效。

在实际应用中，变量阶分数阶模型能够更好地适应金融系统中的不确定性。例如，在投资决策中，投资者往往基于历史市场趋势做出决策，这种决策过程具有记忆效应，因此可以使用变量阶模型来描述。此外，变量阶模型还能够捕捉金融系统中的非线性相互作用，例如利率变化对投资需求的影响，以及投资需求对价格指数的反馈作用。这些相互作用往往呈现出复杂的动态特性，因此需要更精确的数学工具来描述。

在本研究中，我们通过引入PINNs方法，成功解决了变量阶分数阶金融系统的问题。该方法不仅能够快速收敛，还能有效捕捉混沌轨迹，从而为金融系统的预测和分析提供新的工具。通过实验验证，我们发现该方法在不同子情况下的表现均较为理想，能够准确