基于延迟函数的李雅普诺夫泛函，对延迟马尔可夫跳跃神经网络进行了扩展耗散性分析

《Neural Networks》：Extended dissipativity analysis for delayed markovian jump neural networks via delay-function-based Lyapunov functional

　　延迟马尔可夫跳变神经网络（MJNNs）的扩展耗散性分析及新型Lyapunov-Krasovskii函数构建。提出基于延迟函数的LKF方法，将严格正定约束转移至延迟函数本身，结合改进的互易凸不等式（RCI），有效降低保守性并解决双重不确定性（时变延迟与未知转移率）。通过数值实例验证新方法优于传统LKF和RCI。

　　神经网络（Neural Networks, NNs）作为一种能够模仿生物大脑思维模式的计算模型，已经被广泛应用于控制工程、信号处理、模式识别等多个领域。在实际应用中，神经网络往往需要在动态环境中运行，而这种动态性可以通过马尔可夫跳变系统（Markovian Jump Systems, MJS）来建模，因为马尔可夫过程能够描述系统在不同模式之间随机切换的现象。这种现象在许多工程系统中都可能出现，例如电力系统、机器人控制、通信网络等，其中由于传感器或执行器的故障，系统可能会在不同的工作状态之间跳跃。为了更准确地描述这类系统的行为，研究者们提出了马尔可夫跳变神经网络（Markovian Jump Neural Networks, MJNNs）的概念，这类网络不仅考虑了系统的动态特性，还结合了随机跳变机制。

然而，由于神经网络在运行过程中可能受到硬件限制和信号传输速率的影响，系统中常常会出现时间延迟（time delay）。这种延迟可能导致系统不稳定或产生振荡现象，尤其是在动态跳变的情况下，时间延迟对系统性能的影响更加复杂。因此，研究具有部分未知转移率（Partially Unknown Transition Rates, PUTRs）的延迟MJNNs的动态性能成为一个重要的课题。在这一背景下，扩展耗散性（Extended Dissipativity）问题逐渐受到关注。扩展耗散性是一种衡量系统对输入信号的响应特性的指标，它不仅关注系统的稳定性，还涉及系统的能量耗散特性，能够更全面地评估系统的性能。通过研究扩展耗散性，可以进一步提高系统对干扰信号的抑制能力，增强系统的鲁棒性，并为实际工程应用提供更可靠的理论支持。

传统的Lyapunov-Krasovskii泛函（Lyapunov-Krasovskii Functional, LKF）方法在分析具有时间延迟的系统时，通常会对矩阵施加严格的正定性约束。这些约束虽然有助于保证分析的严谨性，但同时也可能引入不必要的保守性，限制了方法的适用范围和灵活性。为了解决这一问题，近年来研究者们提出了一种基于延迟函数的LKF方法，这种方法不再直接依赖于正定矩阵，而是将严格的约束转移到延迟函数本身，从而提高了结果推导的自由度和灵活性。此外，研究者还尝试优化传统的递归凸不等式（Reciprocally Convex Inequality, RCI），以减少对矩阵性质的严格要求，使分析结果更加宽松和实用。

在本文中，作者提出了一个创新的LKF设计方法，该方法结合了基于延迟函数的构造方式和改进的RCI方法，旨在分析具有部分未知转移率的延迟MJNNs的扩展耗散性。通过这种新型LKF的构建，研究者能够在不依赖传统正定性约束的前提下，更准确地描述系统的动态特性。同时，改进的RCI方法使得对延迟导数的估计更加精确，从而减少了分析过程中可能引入的保守性。这种综合方法不仅提升了理论分析的精度，还为实际应用提供了更可靠的解决方案。

为了验证所提出方法的有效性，作者还通过两个数值示例进行了实验分析。这些示例涵盖了具有不同转移率和延迟特性的MJNNs系统，以展示新方法在处理实际问题时的优越性。结果显示，基于延迟函数的LKF和改进的RCI方法能够有效降低保守性，提高系统的稳定性和性能。这表明，新方法在处理具有部分未知转移率和时间延迟的MJNNs问题时，具有更高的灵活性和实用性。

此外，作者还对相关概念进行了定义和说明，包括神经网络的状态变量、外部噪声输入信号、输出变量、初始条件函数以及各种矩阵参数。这些定义为后续的理论分析和数值实验提供了必要的基础。在分析过程中，作者使用了递归凸不等式、积分不等式等工具，以更精确地估计系统的动态特性。这些工具的合理运用，使得研究者能够在不牺牲理论严谨性的前提下，提高分析结果的实用性。

本文的研究成果对于实际工程中的系统设计和控制策略具有重要意义。通过减少保守性，新方法能够更准确地预测系统的动态行为，从而为优化系统性能提供理论依据。尤其是在处理具有部分未知转移率和时间延迟的复杂系统时，这种灵活性和精确性显得尤为重要。研究者们可以通过这种方法，设计出更加高效和可靠的控制策略，以应对实际工程中可能出现的各种不确定性和干扰因素。

总的来说，本文通过引入一种基于延迟函数的LKF方法和改进的RCI方法，有效解决了传统方法在处理具有部分未知转移率和时间延迟的MJNNs时所面临的保守性问题。这种方法不仅提高了分析的灵活性和准确性，还为实际应用提供了新的思路和工具。未来的研究可以进一步探索该方法在其他类型的时变系统中的应用，以及如何将其与其他控制方法相结合，以实现更全面的系统性能优化。