综述：材料建模与设计中物理信息神经网络（PINN）的综述

《ARCHIVES OF COMPUTATIONAL METHODS IN ENGINEERING》：Physics-Informed Neural Networks in Materials Modeling and Design: A Review

　　本综述系统梳理了物理信息神经网络（PINN）这一融合数据驱动深度学习与物理模型的新兴范式，重点探讨了其在材料科学领域的创新应用。文章详细解析了PINN的基础架构（如FFNN、MLP）、核心组件（如自适应权重策略、硬边界条件处理）及增强技术（如cPINN、VPINN等变体），并分类展示了其在热传导、多物理场模拟、材料性能反演、耐久性分析及多孔介质流动等复杂问题中的有效性。作者指出，PINN通过将物理定律（如PDEs）嵌入损失函数，显著降低了对标注数据的依赖，为解决材料科学中的高维、多尺度及反问题提供了灵活、高效的网格无关解决方案，同时也讨论了当前挑战（如梯度病理、频谱偏差）与未来发展方向。

　　

物理信息神经网络（PINN）的基础原理

物理信息神经网络（PINN）是物理信息机器学习（PiML）范畴内一种极具前景的方法，它巧妙地将数据驱动的深度学习与基于物理的建模相结合。其核心思想在于，通过将描述物理系统行为的控制方程（通常是偏微分方程PDEs）以及边界条件、初始条件等物理约束嵌入到神经网络的损失函数中，使网络在训练过程中同时学习数据特征和物理规律。标准的PINN通常采用前馈神经网络（FNN/MLP）作为架构基础，利用自动微分（AD）技术计算PDE残差所需的高阶导数，从而实现了无需网格离散的PDE求解能力，这对于处理复杂几何形状和高维问题尤为有利。

PINN的核心组件与增强策略

PINN的性能在很大程度上取决于其各组件的精心设计与配置。损失函数的构建是关键一环，其通常表示为各项损失的加权和：mathcalLtexttotal=lambdatextresmathcalLtextres+lambdaBCmathcalLBC+lambda0mathcalL0+lambdatextdatamathcalLtextdata，其中包含PDE残差、边界条件损失、初始条件损失和（可选的）数据损失。为平衡不同损失项在训练中的贡献，多种自适应权重方案被提出，例如基于梯度统计的学习率退火、神经正切核（NTK）策略以及残差注意力机制等。

在架构方面，除了标准的MLP，研究者们探索了多种网络类型以适应不同问题需求。卷积神经网络（CNN）适用于网格结构数据，图神经网络（GNN）善于处理不规则几何和结构化关系，而保持对称性的等变网络（如S-PINN）则能嵌入物理定律固有的不变性。此外，域分解方法（如cPINN, XPINN）通过将计算域划分为多个子域并分配独立网络，有效提升了复杂问题的求解效率和并行性。

激活函数的选择对PINN至关重要，因其直接影响导数的计算。平滑且连续可微的函数如双曲正切（Tanh）和Swish被广泛使用，以避免像ReLU那样在二阶导数处出现的问题。此外，自适应激活函数（如带可缩放参数的函数）和物理启发式激活函数（PAFs）也被开发用以加速收敛和提升外推能力。

优化器的选择同样影响训练效果，常见的策略是结合一阶优化器（如Adam）和二阶优化器（如L-BFGS）。在边界条件处理上，除了常见的“软约束”（通过损失项惩罚），“硬约束”方法（如通过距离函数或周期性层直接构建网络输出）能精确满足边界条件，往往能提高收敛速度和精度。采样策略（如残差自适应细化RAR）则通过动态调整配置点分布，将计算资源集中在解变化剧烈的区域，从而优化训练效率。

PINN在材料科学中的应用全景

PINN在材料科学领域展现出处理各类前沿问题的巨大潜力，其应用可大致分为以下几个方向：

热传导与多物理场问题

热传导问题，由经典的热方程或傅里叶定律描述，是PINN的典型应用场景。研究者利用PINN求解正向热传导问题，并成功应用于反问题中，如从有限的温度数据中反演材料的导热系数。对于涉及相变的Stefan问题（移动边界问题），双网络PINN架构被用来分别预测温度场和移动界面位置，显示出处理自由边界问题的能力。在多物理场耦合方面，PINN已被用于模拟增材制造（AM）过程中的熔池动力学和热场演化、锂离子电池的热失控现象以及地下多孔介质中的流固热耦合（THM）问题，体现了其处理复杂相互作用物理场的能力。

材料性能推断与设计

在材料性能方面，PINN能够通过求解控制方程来推断难以直接测量的材料属性。例如，通过弹性力学方程反演非均匀材料的杨氏模量和剪切模量，或通过波动方程估计材料的原位力学性能。在光学和光子学领域，PINN通过求解麦克斯韦方程组的反问题，成功用于从散射数据中重构纳米结构的光学常数（介电常数、磁导率），为超材料设计提供了新工具。在材料设计方面，PINN通过逆设计框架，能够根据目标电磁或光学响应来优化材料的结构或组成参数，例如电磁隐身斗篷的设计。

材料耐久性与应力分析

在材料耐久性评估方面，PINN作为一种无损检测技术显示出价值。例如，通过求解声波或热传导方程的反问题，可以定位和表征复合材料中的裂纹或缺陷。基于变分原理的PINN被用于模拟脆性材料的裂纹扩展，通过最小化系统的总势能来预测裂纹路径。在疲劳寿命预测中，结合断裂力学模型（如M积分）的PINN能够利用循环载荷数据估算多缺陷材料的寿命，为增材制造部件的可靠性评估提供了新方法。此外，PINN也用于分析扩散诱导应力等耦合场问题，例如锂离子电池电极中的应力分布。

多孔介质与多相材料

对于多孔介质中的流动问题，PINN常以达西定律或多相流方程作为物理约束。物理信息卷积神经网络（PICNN）被开发用于模拟高度非均质油藏中的单相或两相达西流动，能够高效预测压力场和饱和度场。一些研究工作进一步将嵌入式离散裂缝模型（EDFM）与PINN结合，用于模拟裂缝性多孔介质中的复杂流动，展示了其在能源领域的应用前景。

挑战与展望

尽管PINN取得了显著进展，但仍面临诸多挑战，例如在模拟多尺度、湍流或混沌系统时的训练困难，这源于梯度病理、损失函数的病态性以及MLP架构固有的频谱偏差等问题。同时，其网格无关的特性是一把双刃剑，在带来灵活性的同时，也意味着缺乏对空间关系的归纳偏置，这可能影响其对某些物理现象的捕捉能力。

未来，PINN的发展可能集中在以下几个方向：针对物理信息学习特性进一步优化网络组件（如新型激活函数、专用优化器）；采用更具空间感知能力的架构（如CNN、GNN）以嵌入物理归纳偏置；发展面向特定工业场景的高度专业化PINN；以及探索PINN与生成模型、强化学习等其他AI范式的融合，以实现更自主的工程设计与材料发现。随着理论研究的深入和计算工具的成熟，PINN有望在材料科学和工程领域发挥越来越重要的作用。