基于离散双忆阻器的霍普菲尔德神经网络与网格多面体超混沌机制，用于空间分布型伪随机数生成器

《Neural Networks》：Discrete Two-Memristor-Based Hopfield Neural Network with Grid-Polyhedral Hyperchaos for Spatial-Distribution-Based Pseudorandom Number Generator

　　离散双忆阻器海夫利德神经网络构建了格点多边超混沌与同质共存超混沌吸引子，通过分段线性状态函数的参数调控实现吸引子位置与幅度的可调谐机制，并基于FPGA开发了支持在线配置的硬件伪随机数发生器，通过NIST随机性测试验证了安全应用潜力

　　在现代科学和技术的快速发展中，神经网络模型因其在信息处理、模式识别和复杂系统建模方面的广泛应用而受到广泛关注。Hopfield神经网络（HNN）作为一种全连接的神经网络，最初被提出用于模拟人类大脑的联想记忆功能。随着研究的深入，HNN也被用于优化计算和非线性动力学建模等领域。近年来，研究人员发现，通过引入具有非线性和记忆特性的忆阻器（memristor）作为神经元之间的连接权重，可以有效增强HNN的非线性复杂性，使其更接近生物神经元的动态响应。忆阻器，作为电路中的第四种基本元件，其独特的特性使其成为研究神经网络动态行为的重要工具。

忆阻器具有记忆和非线性特性，能够模拟神经元之间的突触可塑性，即神经元连接强度随时间变化的能力。这种特性不仅使得HNN能够适应外部刺激，还能反映出电磁感应对神经元电位的影响。通过在HNN中集成忆阻器，研究人员可以探索更丰富的动态行为，包括混沌、超混沌、共存吸引子、极端多稳态以及 chimera 状态等。这些复杂现象为信息加密、随机数生成和数据隐私保护等领域提供了新的思路和方法。

在HNN的研究中，已有多个基于忆阻器的模型被提出。例如，Wang等人构建了一个双神经元忆阻器HNN模型，其中忆阻器作为两个神经元之间的突触权重。Sun等人则通过引入可控多稳态忆阻器，将HNN与Hindmarsh-Rose（HR）神经元耦合，从而生成具有相同结构但不同初始状态的无限多个混沌吸引子。Yu等人提出了一个基于多段非线性磁控忆阻器的HNN模型，该模型展现了共存吸引子和网格多卷吸引子等复杂动态行为，并被应用于物联网环境下的医疗数据隐私保护。Bao等人则构建了一个四维（4-D）双忆阻器HNN模型，其中两个忆阻器作为两个神经元的自连接突触，从而实现了平面偏移控制共存吸引子的特殊动态行为。Yang等人使用两个忆阻器作为两个神经元之间的突触连接，通过忆阻器的时间变化特性，构建了一个具有非线性特性的HNN系统。Li等人提出了一个双忆阻器HNN模型，其中两个忆阻器作为突触连接，形成了一个非线性系统，其平衡点由两个忆阻器的初始状态决定，稳定性分布也依赖于这些初始值，从而导致复杂的共存动态行为。Lin等人则采用三忆阻器结构的HNN模型，实现了对空间多结构混沌吸引子的灵活控制，并表现出高度依赖初始状态的复杂动态。

在离散系统中，尽管模型的维度被降低，但其动态行为仍然表现出极高的复杂性。例如，Bao等人提出了一个二维（2-D）离散双神经元HNN模型，其中创新性地使用了正弦函数作为神经元的激活函数。在特定的突触权重下，该模型具有无限多个固定点，并能够生成具有复杂分形结构的多面体混沌和超混沌吸引子。Lai等人从经典的正弦和高斯映射中推导出一个二维超混沌映射，用于生成基于细胞自动机邻域的多样化图像加密方案。Su等人提出了一个具有数字-模拟混合电路实现的二维HNN类映射，从而开发了多模式混沌振荡器和硬件随机数生成器。Bao等人构建了一个离散忆阻器HNN模型，通过将传统的固定电阻替换为忆阻器，实现了突触权重的自适应调整，其稳定性高度依赖于忆阻器的初始状态。Zhang等人提出了一个具有双忆阻器辐射特性的离散HNN模型，利用两个正弦变换的离散忆阻器来模拟电磁辐射源，展现出极端多稳态、超混沌以及复杂的分岔现象。Lai等人则通过在离散忆阻器模型中引入一个简单的振荡项，构建了四个超混沌映射，从而生成隐藏的超混沌吸引子。此外，忆阻器还被用作可变突触权重，直接生成具有可调条纹/波数的多条纹超混沌吸引子，形成了离散时间忆阻器双神经元HNN模型，该模型已在现场可编程门阵列（FPGA）硬件设备上实现，并用于构建通过NIST随机性测试的伪随机数生成器。

基于上述研究，本文提出了一种基于两个具有内部分段线性状态函数（PWL-SF）的忆阻器的离散双神经元Hopfield神经网络（DTM-HNN）模型。通过将两个忆阻器集成到一个双神经元Hopfield框架中，该模型能够生成网格多面体超混沌吸引子和同质共存超混沌吸引子。模型的结构和规模可以通过忆阻器参数和缩放因子进行灵活调节。此外，通过固定点和雅可比矩阵分析，可以明确地发现，种子图的固定点在两个忆阻器的联合作用下沿z轴和u轴被镜像和缩放，从而实现对吸引子位置和幅度的可控调节。数值模拟结果显示，该模型具有丰富的动态行为，包括从网格分布向同质共存状态的转变，这些动态行为可以通过对角线距离和谱熵等指标进行定量表征。

为了进一步推动DTM-HNN在实际应用中的价值，本文还开发了一种高效的基于FPGA的硬件设备，用于实现DTM-HNN模型。该设备支持在线参数配置和实时吸引子观测，具备良好的实时性和可调性。此外，基于DTM-HNN的网格分布和同质共存特性，设计了一种空间分布型的硬件伪随机数生成器（PRNG）。该PRNG不仅实现了高吞吐量，还具有强密钥敏感性和低资源占用率，成功通过了所有NIST随机性测试，展示了其在信息安全领域的广泛应用潜力。

在信息安全应用方面，忆阻器HNN模型已经展现出巨大的潜力，被广泛应用于伪随机数生成、图像和音频加密以及图像分类等领域。然而，目前的研究主要集中在连续HNN模型及其应用上，而离散化方法在数字应用中往往存在明显的缺点，如性能下降和难以满足高效集成与实时处理的要求。相比之下，离散HNN能够以低维模型的形式展现出丰富的动态行为，其生成的序列具有较强的随机性，因此在信息安全领域具有广阔的应用前景。然而，离散HNN的研究仍处于初级阶段，相关理论和应用尚未得到充分发展。因此，本文旨在通过构建一种基于分段线性状态函数的离散忆阻器模型，并将其集成到双神经元HNN框架中，从而探索离散HNN在复杂动态行为和实际应用中的潜力。

本文的主要创新点和贡献可以归纳为以下三个方面。首先，通过将两个具有可配置分段线性状态函数的忆阻器集成到一个双神经元Hopfield框架中，构建了一个新颖的DTM-HNN模型。这一模型能够扩展和镜像种子图的固定点，从而形成具有可调结构和规模的网格多面体超混沌吸引子。其次，系统地分析了DTM-HNN的分岔动力学和吸引子特性。通过改变缩放因子和忆阻器状态参数，可以揭示网格多面体超混沌吸引子和同质共存超混沌吸引子，并利用多种数值指标对这些动态行为进行定量表征。第三，开发了一种基于FPGA的高效硬件设备，用于实现DTM-HNN模型，并设计了一种基于空间分布的硬件PRNG。该PRNG不仅具有高吞吐量和强密钥敏感性，还实现了低资源占用，并成功通过了所有NIST随机性测试，证明了其在信息安全应用中的实用价值。

本文的结构如下。第二部分介绍了具有内部分段线性状态函数的离散忆阻器模型，并构建了新型的DTM-HNN。第三部分揭示了网格多面体超混沌吸引子和同质共存超混沌吸引子的特性。第四部分详细描述了基于FPGA的硬件实现以及PRNG的设计。最后，第五部分总结了本文的研究成果，并展望了未来的研究方向。

在构建DTM-HNN模型的过程中，首先需要定义离散忆阻器的内部分段线性状态函数。忆阻器的动态行为主要由其状态函数决定，而分段线性状态函数能够提供丰富的非线性特性，使其适用于生成复杂的混沌吸引子。在本研究中，两个忆阻器被集成到一个双神经元HNN模型中，作为该模型的突触连接。通过调整忆阻器的参数和缩放因子，可以实现对吸引子结构和规模的灵活控制。此外，固定点和雅可比矩阵分析表明，种子图的固定点在两个忆阻器的联合作用下被镜像和缩放，从而使得吸引子的位置和幅度具有可调性。

在动态行为分析方面，本文重点研究了DTM-HNN的分岔动力学和吸引子特性。通过改变缩放因子和忆阻器状态参数，可以揭示网格多面体超混沌吸引子和同质共存超混沌吸引子的形成机制。数值模拟结果表明，该模型能够展现出从网格分布向同质共存状态的转变，并且这些动态行为可以通过对角线距离和谱熵等指标进行定量表征。对角线距离用于衡量吸引子在相空间中的分布情况，而谱熵则用于评估系统的复杂性和随机性。这些分析方法不仅有助于理解DTM-HNN的动态特性，也为进一步优化模型参数和提升系统性能提供了理论依据。

在硬件实现方面，本文开发了一种基于FPGA的高效数字设备，用于实现DTM-HNN模型。该设备支持在线参数配置和实时吸引子观测，使得模型的运行更加灵活和高效。此外，基于DTM-HNN的网格分布和同质共存特性，设计了一种空间分布型的硬件PRNG。该PRNG通过动态切换网格和共存状态，实现了高吞吐量和强密钥敏感性。同时，其资源占用率较低，能够在有限的硬件条件下实现高效的随机数生成。经过严格的测试，该PRNG成功通过了所有NIST随机性测试，证明了其在信息安全应用中的可靠性和实用性。

本文的研究成果不仅丰富了离散忆阻器神经网络的理论框架，还为其实现和应用提供了新的思路和方法。通过构建和分析DTM-HNN模型，本文展示了如何利用忆阻器的非线性和记忆特性，生成具有复杂动态行为的混沌吸引子，并将其应用于实际的随机数生成系统中。此外，基于FPGA的硬件实现进一步验证了该模型在数字应用中的可行性，为未来在信息安全、数据加密和随机数生成等领域的研究奠定了基础。

在信息加密和随机数生成领域，混沌系统因其具有高度的随机性和不可预测性而被广泛使用。传统的混沌系统通常依赖于连续时间模型，而在数字应用中，离散时间模型具有更高的灵活性和可实现性。本文提出的DTM-HNN模型通过离散化处理，能够生成具有复杂结构和动态特性的混沌吸引子，从而为信息加密和随机数生成提供了新的工具。此外，基于该模型的硬件PRNG不仅实现了高吞吐量，还具备强密钥敏感性和低资源占用率，这使得其在实际应用中更加具有优势。

本文的研究不仅拓展了忆阻器神经网络的理论边界，还为其实现和应用提供了新的路径。通过构建和分析DTM-HNN模型，研究人员能够更深入地理解忆阻器在神经网络中的作用机制，并探索其在复杂系统建模和信息安全领域的应用潜力。此外，基于FPGA的硬件实现进一步验证了该模型的可行性，为未来在实际工程中的应用提供了技术支持。本文的研究成果有望为信息加密、随机数生成和数据隐私保护等领域带来新的突破，推动忆阻器神经网络在实际应用中的发展。