基于神经网络模拟全协方差矩阵精确约束哈勃常数的研究

《Monthly Notices of the Royal Astronomical Society》：Constraining the Hubble Constant with a Simulated Full Covariance Matrix Using Neural Networks

　　本刊编辑推荐：为解决宇宙学中哈勃常数H0测量精度受限于协方差矩阵不完整的问题，研究团队开发了正定协方差网络(PD-CovNet)，首次将宇宙计时器(CC)数据的15×15协方差矩阵扩展为全33×33矩阵。通过留一法和五折交叉验证证明，PD-CovNet相比高斯过程基线误差降低3-4倍。研究采用EMCEE和GP两种独立方法验证，发现不同协方差设定下H0中心值无统计学差异（p≥0.757），但协方差建模会降低参数估计精度。该研究为CC数据协方差建模提供了新范式，对解决哈勃张力问题具有重要意义。

　　

当我们仰望星空时，或许不会想到宇宙正在以越来越快的速度膨胀。描述这种膨胀速率的关键参数是哈勃常数H₀，它如同宇宙的"心跳"，但其精确测量却引发了当代宇宙学最大的谜团——哈勃张力。目前最精确的两种测量方法（宇宙微波背景辐射和距离阶梯法）给出的结果存在超过5σ的差异，这让科学家开始怀疑是否需要对标准宇宙学模型进行根本性修正。

宇宙计时器(CC)方法为破解这一难题提供了第三条独立路径。该方法通过测量大质量被动星系的微分年龄dz/dt来直接获取不同红移处的哈勃参数H(z)，具有不依赖宇宙学模型的独特优势。然而，现有研究要么完全忽略数据点间的相关性，要么仅使用不完整的15×15协方差矩阵，这严重限制了H₀约束的精度。

为了解决这一瓶颈问题，北京师范大学的牛菁、贺鹏和张同杰团队在《Monthly Notices of the Royal Astronomical Society》上发表了创新性研究。他们开发了正定协方差网络(PD-CovNet)，首次实现了对CC数据集全33×33协方差矩阵的高精度模拟。该工作不仅建立了可靠的协方差矩阵扩展方法，还系统评估了不同协方差设定对H₀约束的影响，为宇宙学参数估计提供了重要的方法论参考。

研究团队采用了几项关键技术方法：首先利用PD-CovNet神经网络架构，通过全连接神经网络将红移映射到特征空间，构建保证正定性的协方差矩阵；采用留一法交叉验证优选超参数，确保模型泛化能力；引入高斯过程作为非参数基线进行对比验证；最后分别使用EMCEE（仿射不变马尔可夫链蒙特卡洛集成采样器）和GP（高斯过程回归）两种独立方法约束H₀，所有分析基于公布的CC数据集（33个H(z)观测值）。

数据基础与协方差建模

研究使用的CC数据集包含33个红移点对应的H(z)测量值，覆盖红移范围0.07-1.965。Moresco等人(2020)虽已计算了15×15协方差矩阵，但完整33×33矩阵仍属未知。该协方差包含统计误差和系统误差（年轻星族污染、模型选择、金属丰度等），其中模型误差又可细分为恒星形成历史、初始质量函数、恒星库和恒星种群合成模型等贡献。

PD-CovNet架构与训练

PD-CovNet核心思想是通过共享权重的全连接神经网络将每个标准化红移映射到r维特征空间。网络包含3个隐藏层（每层128个神经元，使用ReLU激活函数），最终构建的协方差矩阵Σ_θ(z_1:N) = ΦΦ^? + σ²I_N天然保证正定性。通过最大化15×15区块的多元正态似然函数进行训练，超参数（训练轮数、特征维度、网络宽度/深度、学习率）通过留一法验证优选，最终确定最佳组合为：训练轮数3250、特征维度4、隐藏层宽度128、深度3、学习率10^-3。

高斯过程基线模型

作为对比，研究还构建了基于各向异性Matérn核（v=5/2）的高斯过程基线模型。该模型将协方差表示为红移中点μ_ij和间隔δ_ij的平滑函数，通过最大化边际似然学习超参数，最后通过Higham方法投影至最近正定矩阵。

五折交叉验证结果

按红移分组进行五折交叉验证显示，PD-CovNet在均方根误差（18.78±11.45）和平均绝对误差（17.78±10.54）上均显著优于GP基线（64.51±69.17和59.52±61.90），误差降低约3-4倍。重叠区块的验证结果进一步证实PD-CovNet具有更高的模拟精度。

H₀约束结果分析

研究比较了四种数据配置：无协方差(NoCov)、仅15×15协方差(Cov15)、PD-CovNet模拟33×33协方差(PD33)和替代超参数协方差(PD33Alt)。两种约束方法给出的H₀估计高度一致：EMCEE方法结果为67.92±3.10（NoCov）、69.17±4.16（Cov15）、67.71±5.28（PD33）和68.35±5.03（PD33Alt）km s^-1 Mpc^-1；GP方法结果分别为67.76±4.78、67.22±4.72、67.89±5.97和68.06±5.69 km s^-1 Mpc^-1。所有配对比较的标准化差异S≤0.31σ，双侧p值≥0.757，表明不同协方差设定对H₀中心值无统计学意义的影响。

精度变化规律

研究发现约束精度受协方差设定和方法的共同影响：EMCEE在建模协方差时始终比GP更精确（不确定性低约13%）；随着协方差信息增加，参数估计精度系统下降（从NoCov到Cov15精度下降34%，从Cov15到PD33再降27%）；PD-CovNet超参数对不确定性有适度影响（PD33Alt比PD33精确约4.7%）。

本研究通过建立可靠的协方差矩阵扩展方法，证实了完整协方差建模对宇宙学参数估计的重要性。虽然不同协方差设定不会系统改变H₀的中心值，但会显著影响其不确定度，这一发现对理解CC数据统计特性具有重要价值。PD-CovNet框架为处理其他天文学数据集中的不完整协方差问题提供了新思路，未来可通过整合更复杂的网络架构、探索EMCEE与GP精度差异的物理机制、以及直接观测验证等方向进一步推进。该研究为破解哈勃张力问题提供了更严谨的数据处理基础，标志着宇宙学数据分析向全面统计建模迈出了重要一步。