HG-PINN：一种基于残差物理信息的神经网络框架，用于异质地下水流动模拟

《Desalination and Water Treatment》：HG-PINN: A Residual Physics-Informed Neural Network Framework for Heterogeneous Groundwater Flow Simulation

　　地下水流动建模的残差结构物理信息神经网络研究。摘要：为解决异质含水层中地下水流动建模的收敛慢、精度低问题，提出HG-PINN模型，集成残差模块、参数监督学习和硬约束机制。通过实验验证，HG-PINN在单井、多井及异质含水层场景中均能实现厘米级精度（RMSE<0.038m），NSE>0.985，较传统PINN提升显著。该模型通过模块化残差结构增强非线性表征，硬约束直接嵌入网络输出层确保边界条件精确性，并引入参数监督机制优化空间异质性。实验表明，6层残差结构结合S-Tanh激活函数能平衡精度与计算效率，硬约束策略有效降低边界误差，而参数监督提升异质性建模能力。研究为复杂地质条件下高精度地下水模拟提供了新方法。

　　在当前的地下水流动模拟研究中，传统的数值方法如有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）和有限体积法（FVM）虽然在规则几何和明确边界条件下表现良好，但在处理复杂地形、强烈异质性和不规则边界等问题时，往往需要大量的模型构建和计算资源。这限制了它们在实际工程中的应用，尤其是在面对高非均匀性地下水系统时。为了解决这些问题，研究者提出了物理信息神经网络（PINNs）的方法，通过将物理定律直接嵌入深度学习框架，实现从数据和物理规律的同时学习。然而，传统的PINNs在高非均匀性地质条件下常常面临收敛速度慢和精度有限的问题。

为了克服上述限制，本文提出了一种增强型框架，即异质性引导的物理信息神经网络（HG-PINN）。该方法整合了模块化残差结构、参数监督学习和硬约束嵌入机制，以提高模型在复杂物理场景中的准确性、稳定性和收敛性。通过在多个抽水案例中验证该模型，并将其计算结果与数值模拟进行比较，结果表明HG-PINN能够有效模拟均质和非均质含水层中的地下水流动。此外，还进行了消融研究，探讨了网络深度、激活函数和模型结构对性能的影响。研究发现，适当的网络加深和使用双曲正切激活函数可以显著提高收敛速度和模拟精度。相对于传统的PINNs，HG-PINN进一步减少了误差，并增强了对非均质含水层边界的表示能力。

本文提出的HG-PINN模型结合了数据驱动学习和物理约束的优势，为高精度地下水流动模拟提供了一种新的方法，并展现出广阔的实际工程应用潜力。HG-PINN通过嵌入物理定律和初始、边界条件，构建了一个端到端的物理驱动学习系统。模型输入包括二维空间坐标和时间，输出为地下水头分布。通过模块化残差结构，模型能够学习多尺度和局部奇异特征，从而增强特征表示能力。为了满足物理规律，模型采用自动微分技术计算网络输出的高阶导数，从而提取偏微分方程所需物理量并构建残差项作为关键的物理信息损失函数组成部分。

研究还考虑了两种约束策略：软约束和硬约束。软约束通过加权项将残差和边界损失结合，但平衡这些权重具有挑战性，可能导致边界精度和收敛性下降。硬约束则通过构建满足边界条件的输出，直接嵌入到网络输出层中，避免了在优化过程中显式惩罚这些条件的需要。为了应对非均质含水层中的复杂边界条件，研究采用了一种基于边界残差的策略，而不是通过调制函数强制满足自然边界条件。这种方法避免了构造正常感知距离函数的复杂性，同时仍能保证模型在弱意义上满足自然边界条件。此外，由于点源项或阶跃函数等不规则函数在偏微分方程回归和神经网络训练中通常不利，研究采用高斯函数近似方法，将狄拉克δ函数替换为光滑的参数化概率密度函数，以确保模型在训练过程中的可微性和稳定性。

为了验证HG-PINN模型在均质和非均质含水层中的适用性，研究构建了多个测试案例，包括均质含水层中的单井抽水、双井抽水和多井抽水场景，以及非均质含水层中的抽水案例。测试案例中，研究区域的尺寸、含水层厚度、特定存储系数和初始水头设置保持一致。对于边界条件，所有案例均采用固定水头边界，保持水头为10米。在这些案例中，HG-PINN模型能够准确模拟地下水头分布，并在抽水过程中保持较高的精度。通过比较不同网络深度和激活函数对模型性能的影响，研究发现适当的网络加深和使用双曲正切激活函数可以显著提高模型的收敛速度和模拟精度。此外，通过与标准PINN框架的比较，验证了HG-PINN模型在预测精度和鲁棒性方面的优势。

研究还通过定量分析，使用均方根误差（RMSE）和纳什-苏特cliffe效率系数（NSE）作为评估指标，评估了模型的准确性。结果显示，HG-PINN模型在所有测试案例中均表现出较高的准确性和稳定性。对于均质含水层中的单井抽水案例（Case1a），模型达到了0.0346米的RMSE和0.99964的NSE，表明模型预测结果与数值模拟参考解高度一致。在双井抽水案例（Case1b）中，模型表现更加稳健，RMSE为0.0496米，NSE为0.99869。在多井抽水案例（Case1c）中，尽管挑战性增加，模型仍然能够准确模拟地下水头分布，RMSE为0.0548米，NSE为0.99759。这些结果表明，HG-PINN模型在模拟地下水系统时具有良好的泛化能力。

在非均质含水层的测试案例中，模型表现出更强的适应能力。在Case2a中，含水层被划分为两个具有不同渗透系数的子区域，模型能够准确模拟地下水头分布，并在抽水过程中形成明显的抽水锥。在Case2b中，含水层包含一个局部低渗透性粘土层，模型能够有效捕捉到粘土区域的水头变化，并在抽水过程中表现出良好的适应性。通过与数值模拟结果的比较，模型预测结果与参考解高度一致，显示出HG-PINN在复杂非均质条件下的强大能力。

研究还探讨了网络参数对模型性能的影响，包括网络深度和激活函数的选择。通过调整残差块的数量，研究发现网络深度对模型性能有显著影响。随着网络深度的增加，训练损失呈下降趋势，但当网络深度增加到9层时，RMSE的波动性增加，表明模型稳定性下降。因此，在实际应用中，网络深度应根据具体需求进行调整，以平衡精度、计算成本和泛化能力。激活函数的选择同样对模型性能至关重要。S-Tanh和Tanh激活函数表现出更优的收敛性和预测精度，而Softplus和Sigmoid激活函数则在收敛速度和最终预测精度上有所不足。这些发现表明，在物理约束的深度学习任务中，选择具有平滑性和非线性表达能力的激活函数更为合适。

最后，研究总结了HG-PINN模型的主要结论：该模型在不同含水层条件下实现了厘米级的地下水头预测精度，得益于其物理引导设计和监督渗透率引导；模块化残差结构通过促进梯度传播，提高了模型在强烈渗透率变化和源汇变化下的训练稳定性；硬约束机制在边界附近提高了预测精度，优于软约束方法；在强烈非均质情况下，HG-PINN能够准确模拟不对称水头场和非线性抽水锥，其RMSE小于0.038米，NSE大于0.985；双曲正切激活函数相较于其他激活函数，表现出更优的预测性能和训练稳定性，提供了一个精度与效率之间的平衡。

尽管HG-PINN模型取得了显著成果，但研究也指出了一些局限性。当前框架假设渗透率的空间分布已知，并通过监督引导方式整合，这限制了其在渗透率高度不确定的地下环境中直接应用。此外，研究主要针对二维受限含水层，未来的工作可能需要扩展到三维地质设置或复杂的水文地质结构，这可能带来额外的计算和建模挑战。同时，深度残差块和硬约束机制在长期瞬态问题和高分辨率区域中会增加训练成本。这些局限性为后续研究提供了方向，例如探索更高效的训练策略或改进模型结构以适应更多复杂场景。