饱和发生率模型下狂犬病传播动力学与控制策略研究

《Mathematical Biosciences》：Do “soft” interventions matter more than vaccination? Rabies as an example

　　本文提出一个具有饱和发生率函数的狂犬病传播动力学模型，深入分析了疾病在犬类和人群中的传播机制。研究通过理论证明和数值模拟，揭示了基本再生数（R0）作为疾病流行阈值的关键作用，并发现抑制效应参数（α）在控制疾病流行规模方面具有重要影响。文章创新性地指出，即使R0 > 1，通过增强行为干预（如提高公众意识、减少接触等“软”措施）也能有效降低地方性流行平衡点的感染水平，这为狂犬病的实际防控提供了新的理论依据和策略视角。

　　

引言

狂犬病是由狂犬病病毒（RABV）引起的一种致命性人畜共患传染病，主要通过受感染动物（尤其是犬类）的咬伤或抓伤传播给人类。尽管存在有效的疫苗，但由于资源有限、疫苗接种成本高昂以及缺乏战略协调等因素，狂犬病在全球，特别是在非洲和亚洲地区，仍然是一个重大的公共卫生问题，每年导致约59,000人死亡，其中40%是15岁以下的儿童。世界卫生组织（WHO）提出了到2030年实现犬介导狂犬病零人类死亡的目标。数学建模为了解疾病传播动态、评估控制措施效果以及优化干预策略提供了有力的工具。

在传染病建模中，发生率函数的选择至关重要，它决定了流行病动力学的基本特征。本研究采用饱和发生率函数 βSI/(1+αI) 来描述感染过程，其中参数α代表了“抑制效应”。这种效应反映了当感染个体数量增加时，易感个体因心理或行为改变（如避免接触）或因拥挤效应而导致的传播速率减缓现象。这与更常用的双线性发生率（βSI）或标准发生率（βSI/N）相比，能更合理地描述在感染数量较大时的现实传播情景。

数学模型

本研究构建了一个确定性模型，用于研究狂犬病在犬类和人群中的传播动力学。模型将犬群和人群各分为四个仓室：易感者（S_d, S）、暴露者（E_d, E）、疫苗接种者（V_d, V）和感染者（I_d, I）。模型由一组非线性常微分方程表示，其核心特征在于使用了饱和发生率函数来描述犬-犬和犬-人之间的传播过程。

模型的基本假设包括：犬类是唯一的传染源；犬和人的补充率是常数；新引入犬中有一定比例（ν_d）在出生时即接种疫苗；免疫力会衰减；犬和人群的抑制效应参数α相似。研究首先确定了模型解具有生物学意义的正不变域Ω，并证明了所有解最终都会进入或趋于该区域。

理论分析

理论分析的重点是模型的平衡点及其稳定性。模型存在两个平衡点：无病平衡点（DFE, E₁）和地方病平衡点（EE, E）。通过下一代矩阵方法，推导出了模型的基本再生数R₀的表达式。分析表明，地方病平衡点E存在的充要条件是R₀ > 1。

稳定性分析结果表明：

1. 1.
   当R₀ < 1，并且在参数条件η_d ≤ γ_d 和 η ≤ γ 下，无病平衡点E₁是全局渐近稳定的。这意味着疾病最终会从种群中消失。
2. 2.
   当R₀ > 1，并且在一定的参数条件下（如σ_d + η_d ≥ γ_d, σ + η ≥ γ等），地方病平衡点E是局部渐近稳定的，并且通过应用Li和Muldowney的几何方法，进一步证明了在该条件下E也是全局渐近稳定的。这意味着疾病会持续存在并趋于一个稳定的地方性流行状态。

这些理论结果明确了R₀作为决定疾病是否流行的阈值参数的地位。

数值模拟

数值模拟被用来验证理论结果并更直观地展示动力学行为。模拟结果显示，当R₀ < 1时，从不同初始条件出发的轨迹都收敛于无病平衡点E₁；而当R₀ > 1时，所有轨迹则收敛于地方病平衡点E_*，这直观地证实了理论分析的稳定性结论。

敏感性分析采用拉丁超立方抽样（LHS）和偏秩相关系数（PRCC）方法，评估了各参数对R₀的影响程度。分析结果表明，对R₀影响最大的三个参数是犬的补充率（Λ_d）、犬间传播率（β_d）和犬的自然死亡率（μ_d）。R₀随着Λ_d和β_d的增加而增加，随着μ_d的增加而减小。这意味着，通过控制犬群数量（降低Λ_d，例如通过绝育）、减少传播风险（降低β_d，例如通过拴养、管理）可以在一定程度上降低流行风险，而通过扑杀（增加μ_d）来控制疾病的效果相对有限。值得注意的是，蒙特卡洛模拟显示，大多数参数组合下R₀都大于1，暗示在现实中完全根除狂犬病具有挑战性。

研究特别探讨了饱和发生率中抑制效应参数α的作用。虽然α并不影响R₀的数值（因为R₀由模型在无病平衡点处的线性化决定），但它显著影响地方病平衡时感染者的数量。模拟发现，当R₀ > 1时，增大α值可以显著降低感染犬（I_d）和感染人（I）的地方病平衡水平。这意味着，即使疾病无法根除，通过增强“抑制效应”（如提高公众意识、实施动物宵禁、建立防护设施等“软”干预措施）也能有效控制疫情的规模。相比之下，当R₀ < 1时，改变α对疾病消亡过程影响不大。此外，模拟还比较了增加α和提高疫苗接种率的效果，发现在α足够大时，疫苗接种的效果会变得不显著，而当α较小时，疫苗接种则能有效降低感染峰值和最终规模。这突出了在狂犬病呈地方性流行时，行为干预等“软”措施可能比单纯的疫苗接种更能有效控制疫情。

讨论

本研究通过构建并分析一个具有饱和发生率的狂犬病传播模型，深化了对狂犬病动力学特性的理解。研究确认了R₀作为疾病流行的阈值作用，并强调了抑制效应参数α在疾病控制中的潜在重要性。

主要的启示在于：首先，完全根除狂犬病（即使R₀降至1以下）在现实中可能非常困难，因为对关键参数（如Λ_d和β_d）的控制需要达到极其严格的程度。因此，更现实的目标可能是“控制”而非“根除”，即通过干预措施将地方性流行水平降至尽可能低的程度。其次，也是本研究最具创新性的发现是，代表行为改变和 crowding 效应的参数α，在R₀ > 1的情况下，对降低地方病流行水平起着关键作用。这表明，在疫苗接种等“硬”措施之外，加强公共卫生教育、提高社区意识、促进负责任养犬行为等“软”干预，对于控制狂犬病同样至关重要，有时甚至可能更有效。

本研究的局限性包括未考虑其他野生动物宿主、假设传播仅来自犬类、未纳入空间异质性等。未来的研究可以拓展模型，纳入这些因素，以及疫苗接种犹豫、环境影响因素等，使模型更贴近复杂的现实情况。

总之，这项研究强调了在狂犬病数学模型中考虑非线性发生率（如饱和效应）的重要性。它表明，成功的狂犬病控制策略很可能需要“硬”措施（如疫苗接种）和“软”措施（如行为干预）相结合的综合方法。即使在全球根除目标短期内难以实现的情况下，通过战略性干预有效管理疾病，从而大幅减轻其公共卫生负担，仍然是一个可行且重要的目标。