利用遗传算法优化 Kreuzer-Skarke 数据库中的 Calabi-Yau 流形：在弦论紧凑化中最大化体积与轴子-光子耦合

《FORTSCHRITTE DER PHYSIK-PROGRESS OF PHYSICS》：The DNA of Calabi–Yau Hypersurfaces: A Genetic Algorithm for Polytope Triangulations

　　本文综述了如何将遗传算法（GA）这一强大的优化工具应用于 Kreuzer-Skarke（KS）数据库中的四维反射多面体，以系统地搜索其精细正则星形三角剖分（FRST），从而优化相关的 Calabi-Yau（CY） 三倍体流形的几何与物理性质。文章详细阐述了将多面体二维面的三角剖分编码为“DNA”的创新策略，并成功应用该框架于三个具体案例：在 h1,1 = 23 时最大化 CY 体积，在 h1,1 = 60 时优化轴子衰变常数 f 以接近目标值，以及在最大的 h1,1 = 491 多面体上最大化轴子-光子耦合 gaγγ。研究结果表明，遗传算法在探索浩瀚的弦景观方面，相比随机采样等传统方法表现出显著优势，能够更高效地定位具有特定物理特性的流形构型，为弦论模型构建提供了新的计算范式。

　　

遗传算法在弦景观探索中的应用框架

本文的核心在于将遗传算法（Genetic Algorithm, GA）这一受生物进化启发的全局优化技术，应用于弦理论中一个关键且复杂的数学对象集合：由四维反射多面体构造的 Calabi-Yau（CY） 三倍体流形。这些流形构成了弦理论紧凑化的核心几何背景，其不同的三角剖分（对应于不同的同调类型）决定了低能有效理论（如粒子物理标准模型）的诸多性质，例如模空间的拓扑、轴子场及其耦合强度。然而，Kreuzer-Skarke（KS） 数据库包含了海量的四维反射多面体，每个多面体又对应着数量极其庞大的精细正则星形三角剖分（Fine Regular Star Triangulations, FRST），这使得通过穷举法系统研究所有可能的 CY 流形变得不可行。本文的工作正是为了应对这一挑战，开发了一种高效的优化框架，旨在从这近乎无限的“弦景观”中，快速定位那些具有特定所需物理特性的 CY 流形。

Calabi-Yau 流形与遗传算法的编码策略

文章的关键创新点在于为复杂的 Calabi-Yau 流形几何定义了一种简洁的“遗传编码”。对于一个给定的四维反射多面体 Δ^°，其任何 FRST 都由其所有二维面（two-faces）的三角剖分唯一确定。因此，一个 FRST 可以被编码为一个向量 C = (c₀, c₁, ..., c_n-1)，其中每个分量 c_i 是一个整数标签，代表了第 i 个二维面所有可能的精细正则三角剖分（FRT）中的某一个特定选择。这个向量 C 就被定义为该 CY 流形的“DNA”或“染色体”。这种编码方式极大地压缩了搜索空间，因为它自动规避了那些无法扩展到整个多面体 FRST 的二维面三角剖分组合（即非三角剖分面等价（NTFE） FRST），从而显著减少了冗余。文章指出，对于许多多面体，即使其二维面的 FRT 总数可能达到惊人的 10⁹²⁸ 量级，其 NTFE FRST 的数量也会指数级减少到约 10⁴²⁸，这使得基于此编码的优化成为可能。

针对多面体三角剖分的遗传算法实现

研究者专门为多面体三角剖分的优化问题定制了一套遗传算法。该算法的基本流程遵循生物进化的原理：

1. 1.
   初始化：随机生成一个包含 P 个“个体”（即不同的 NTFE FRST DNA 编码）的初始种群。
2. 2.
   选择：根据每个个体的适应度函数值（fitness function，由用户根据优化目标定义，例如 Calabi-Yau 体积 V 或轴子-光子耦合 g_aγγ），以较高的概率选择适应度高的个体作为“亲本”。文章测试了多种选择策略，如轮盘赌选择、锦标赛选择等。
3. 3.
   交叉：将选出的亲本两两配对，通过单点交叉、多点交叉或均匀交叉等操作，交换其部分“基因”（即 DNA 向量中的某些 c_i 值），产生新的子代个体。
4. 4.
   变异：以一定的概率随机改变子代个体中一个或多个基因位点的值，即随机替换某些二维面的三角剖分选择，以引入新的遗传多样性，避免算法陷入局部最优。
5. 5.
   评估与生存：对新生成的子代个体进行“可行性”检查，即验证其 DNA 编码是否能真正扩展为整个多面体的 FRST。不能扩展的个体被淘汰。然后，根据适应度从父代和子代中选择个体形成新一代种群。
   算法迭代进行上述步骤（称为“代”），直至达到预设的代数或收敛条件。特别值得一提的是，研究者还利用贝叶斯优化（Bayesian Optimization）来自动调整遗传算法运行中的十多个超参数（如交叉率、变异率等），从而进一步提升算法的性能和自动化程度。

应用一：最大化 Calabi-Yau 体积

为了验证遗传算法的有效性，研究者首先在一个相对简单、可以完全枚举所有 NTFE FRST（共 331,192 个）的多面体（h^1,1 = 23）上，以最大化 Calabi-Yau 流形的体积 V 为目标进行测试。体积 V 由 K?hler 类 J = Σ tⁱ ω_i 的三重积分给出，V = (1/6) κ_{ijk tⁱ t^j t^k，其中 κijk 是三重交点数，计算在拉伸的 K?hler 锥的尖端进行。}

研究显示，在该搜索空间中，体积 V 的分布相对于汉明距离和翻转距离呈现出“漏斗状”的地形结构，即接近全局最大值的解周围存在一个性能逐渐提升的邻域，这为遗传算法等优化方法提供了理想的条件。将优化后的遗传算法与随机采样、模拟退火、马尔可夫链蒙特卡洛等多种算法进行比较后发现，遗传算法和最佳优先搜索算法表现最佳，能够以远高于随机采样的效率找到体积接近全局最大值的 Calabi-Yau 流形。具体而言，遗传算法在评估了不到总数 5% 的 DNA（约 16,000 个）后，就能稳定地找到全局最优解或接近最优的解，证明了其在该问题上的卓越性能。

应用二：优化轴子衰变常数

第二个应用针对一个更复杂的多面体（h^1,1 = 60），其 NTFE FRST 的理论上界高达约 3.3 × 10³⁶，无法完全枚举。优化目标是找到其对应的 CY 流形，使得其中最轻的 C₄ 轴子的衰变常数 f 接近一个预设的目标值 f_* = 10¹⁴ GeV。轴子衰变常数 f 的计算涉及复杂的几何数据，包括 K?hler 度量、瞬子电荷矩阵等。

研究再次证明了遗传算法的有效性。经过数十代的演化，遗传算法种群中的个体其轴子衰变常数 f 的分布迅速向目标值 f_* 集中。通过分析不同二维面上三角剖分选择（等位基因）在进化过程中的分布变化，研究者观察到遗传算法能够识别并“锁定”那些对实现高适应度有益的基因模式，同时在其他维度上保持探索，展现了其强大的学习能力和全局搜索能力。与随机采样相比，遗传算法能更高效地在其庞大的搜索空间中导航，找到满足特定物理要求的稀有构型。

应用三：最大化轴子-光子耦合

最后一个也是最具挑战性的应用，是针对 KS 数据库中最大的多面体（h^1,1 = 491）进行的。该多面体对应的 Calabi-Yau 流形数量极其庞大，是数据库中的主要组成部分。优化目标是最大化所有轴子的轴子-光子耦合强度构成的向量的欧几里得范数 ||g_aγγ||。轴子-光子耦合是轴子作为暗物质候选者的关键可观测效应，其大小受到严格限制。在弦理论紧凑化中，g_aγγ 受到来自瞬子作用量层级结构和 K?hler 度量非对角元稀疏性（动力学隔离）的双重抑制，在大的 h^1,1 下通常会变得非常小。

由于计算限制，研究者固定了三个最大二维面的三角剖分，允许遗传算法在其余二维面的三角剖分空间中进行搜索。即使在这种受限的搜索空间（约 4 × 10¹⁴ 种可能）和未进行深度超参数调优的情况下，遗传算法的表现依然显著优于随机采样。在评估了 5000 个独特的 DNA 后，遗传算法找到的最大 ||g_aγγ|| 平均比随机采样找到的大一个数量级以上。这表明遗传算法具备在最具计算挑战性的弦景观区域中发现具有异常强耦合的物理上有趣的构型的能力。

结论与展望

本文成功地论证了遗传算法是探索浩瀚弦景观的强大而高效的工具。通过将 Calabi-Yau 流形的几何数据编码为遗传信息，并利用进化操作进行搜索，遗传算法能够在对整个构型空间进行穷举扫描完全不可行的情况下，有效地定位那些能产生特定所需物理现象（如大体积、特定轴子衰变常数或强轴子-光子耦合）的流形。

这项工作为未来的研究开辟了多个方向。首先，可以将该方法应用于更复杂、现象学更丰富的目标，例如构建模糊暗物质的弦理论模型，这需要同时调整轴子的质量和衰变常数。其次，当前的工作主要优化了给定多面体下的 Calabi-Yau 流形，未来的挑战在于将优化范围扩展到整个 Kreuzer-Skarke 数据库（即同时优化多面体选择）以及 Calabi-Yau 流形的模空间（即优化 K?hler 参数）。此外，对高 h^1,1 多面体所有二维面三角剖分空间的更全面探索，以及将类似方法应用于其他弦真空的数据库（如完整交 Calabi-Yau 流形）也是极具前景的方向。

总之，这项研究展示了计算智能算法（如遗传算法）与理论物理前沿问题（如弦景观）相结合的巨大潜力，为在弦理论庞大的可能性宇宙中进行有目的的“模型构建”提供了新的范式。