极集上满足非线性不等式的上调和函数的加权非切向极限

《Analysis and Mathematical Physics》：Weighted nontangential limits on a polar set of superharmonic functions satisfying a nonlinear inequality

　　本文研究了定义在区域Ω\E上的正上调和函数在极集E附近的边界行为，其中函数满足非线性不等式-Δu(x)≤c d(x, E)-β u(x)p。作者在E满足Ahlfors正则条件等假设下，证明了函数u与辅助函数hE的比值在E上几乎处处具有有限的非切向极限，并给出了函数增长速率与例外集大小之间的关系。该结果将Lions关于Lane-Emden方程孤立奇点渐近行为的经典结果推广到了非孤立奇点情形，对理解非线性椭圆方程的解在奇异集附近的性态具有重要意义。

　　

在数学物理的广阔天地中，理解偏微分方程解的性态始终是一个核心课题。特别是，当方程的解在某个特定集合附近表现出奇异行为时，探究其精确的渐近性质就变得尤为重要。以经典的Lane-Emden方程-Δu = u^p为例，它在天体物理等领域有重要应用，其正解在孤立奇点附近的行为已被Lions、Taliaferro等数学家深入研究。然而，现实世界中的问题往往更为复杂，奇异点可能不是孤立的，而是形成一个低维的“奇异集”，比如一条曲线甚至一个分形集合。当奇点“连成一片”时，解在靠近这片奇异区域时会有怎样的表现？传统的分析方法是否依然有效？这些问题构成了当前研究面临的主要挑战。

为了解决非孤立奇点带来的难题，发表在《Analysis and Mathematical Physics》上的这项研究，将目光投向了定义在区域Ω去掉一个相对闭极集E（即Ω\E）上的正上调和函数。这些函数满足一个更广泛的非线性不等式：-Δu(x) ≤ c d(x, E)^-β u(x)^p，其中d(x, E)表示点x到集合E的距离。研究的主要目标是揭示函数u在奇异集E附近的“非切向极限”行为。“非切向”意味着我们要求点x沿着一个避免直接“撞上”E的锥形区域趋近于E上的点，这比直接径向趋近更能捕捉到边界行为的精细结构。

为了刻画函数在E附近的行为，研究人员引入了一个关键的辅助函数h_E(x) = ∫_E |x-y|^2-N d?^α(y)，其中?^α是α维Hausdorff测度。当E具有一定的正则性（例如满足Ahlfors正则条件）时，h_E在Ω\E上是调和函数，并且其大小在E附近与一个由距离函数定义的函数d?_α(x)（当α<>_α(x) = d(x, E)^2-N+α；当α=N-2时，d?_α(x) = log(1/d(x, E))）是可比的。这个辅助函数就像一把标尺，用来衡量函数u在奇异集附近的增长速率。

本研究主要运用了位势理论、调和分析以及几何测度论中的方法。关键技术包括利用Green函数和Martin边界理论分析区域Ω\E上的调和函数和位势的边界行为，特别是Fatou-Naim-Doob定理在非切极限存在性证明中的应用。同时，研究依赖于对奇异集E的几何假设，如Ahlfors正则性，并通过对辅助函数h_E的精细估计以及迭代技巧来处理非线性项。

主要结果

研究的第一个主要结果是定理2.1，它给出了函数u/h_E具有有限非切向极限的充分条件。定理表明，如果极集E满足Ahlfors正则条件，并且正上调和函数u满足以下两类条件之一，那么u/h_E在E上关于?^α测度几乎处处具有有限的非切向极限：

(A1) 当非线性指数p属于次临界范围(0, N/(N-2))时，要求函数-d(x, E)²d?_α(x)^p-1Δu(x) / u(x)^p在非切向区域内的本质上确界在趋近于E时是有界的。

(A2) 当p ≥ N/(N-2)时，除了要求-d(x, E)^βΔu(x) / u(x)^p的有界性外，还需要对函数u本身施加一个增长性限制，即d(x, E)^(2-β)/(p-1) u(x)在趋近于E时保持有界。

此外，定理还断言，使得u(x)/d?_α(x)沿某条非切向路径趋于无穷大的点集ζ ∈ E的?^α测度为零。这意味着，虽然函数u可能在奇异集附近增长，但其增长速率通常不会超过标度函数d?_α(x)，除了一个α维测度为零的“例外集”之外。

为了说明定理2.1中条件的必要性，研究者还在定理2.2中构造了一个反例。他们证明，在满足一定几何条件（如(2.8)和(2.9)）的紧集E上，对于给定的参数p和ε，可以构造出一个正解u，它满足一个受控的非线性不等式0 ≤ -Δu(x) ≤ u(x)^p / (d(x, E)^2+εd?_α(x)^p-1)，但是u(x)/h_E(x)在E上的每一点沿着非切向区域都发散到无穷大。这个构造表明，定理2.1中的条件在某种程度上是最优的，特别是在p > N/(N-2)的超临界情形下，对u的增长施加额外的限制是必不可少的。

证明思路与关键技术

定理2.1的证明是文章的核心，其思路精巧而深刻。证明的关键步骤可以概括为以下几点：

1. 1.
   辅助函数的估计：首先，在E的每个点ξ附近，研究者详细分析了辅助函数h_E(x)和与之相关的Martin积分?_ξ(x) = M_Ω\E?^α|_Eξ的渐近行为。通过引理3.1、3.2和3.3，他们证明了在ξ附近，h_E(x)和?_ξ(x)都与d?_α(x)可比。这为后续用?_ξ作为比较的“标尺”奠定了基础。
2. 2.
   调和分量的边界行为：利用Riesz分解定理，函数u可以分解为一个调和函数h和一个Green位势G_Ω[-Δu]之和。对于调和分量h，通过位势理论中的Fatou-Naim-Doob定理（命题3.4），可以证明h/?_ξ在E上几乎处处具有有限的精细极限，进而具有有限的非切向极限。
3. 3.
   位势分量的边界行为：对于位势分量G_Ω[-Δu]，处理起来更为复杂。研究者需要证明在适当的条件下，G_Ω[-Δu]/?_ξ的非切向极限为0。这主要通过命题3.6和3.7来实现。其核心思想是，利用假设条件(A1)或(A2)可以控制非线性项-Δu的增长，从而使得位势项在边界上的影响可以被调和项“吸收”掉。
4. 4.
   核心估计：u(x)的有界性：整个证明中最关键也最具技术性的部分，是证明在非切向区域Γ_θ(ζ)内，函数u(x)能被d?_α(x)控制，即u(x) ≤ c d?_α(x)（命题3.8）。这个估计是保证极限有限的核心。
   • •
     在条件(A2)下，证明相对直接，主要利用了引理3.10（一个关于上调和函数的平均不等式）和一个迭代论证，表明位势部分对u的贡献可以控制得足够小。
   • •
     在条件(A1)（次临界情形）下，证明更为精细。研究者定义了一系列截断的位势，并利用非线性假设，通过一个巧妙的迭代过程（涉及指标p, q, s, κ的选取）和H?lder不等式、Minkowski不等式等工具，最终导出所需的估计。
5. 5.
   反例的构造：定理2.2的证明是通过显式构造一个Newtonian位势u(x) = a_N ∫_R^N |x-y|^2-N f(y) dy来实现的。密度函数f被精心设计成在围绕E的特定球壳上取较大的值，而在其他地方为零。通过计算和比较，可以验证这个u满足要求的非线性不等式，但其与h_E的比值在E上却发散。

结论与意义

这项研究的主要结论是，对于在极集E附近满足非线性不等式的正上调和函数，在适当的次临界条件或带有增长限制的超临界条件下，函数与特定辅助函数h_E的比值在E上几乎处处存在有限的非切向极限。同时，函数本身的增长速率通常被d?_α(x)所控制。

这项工作的意义重大。首先，它将经典的关于孤立奇点的结果（如Lions和Taliaferro的工作）系统地推广到了非孤立奇点的情形，极大地扩展了理论的适用范围。其次，它弥补了作者之前与Ono关于半线性椭圆方程奇点可去性结果的空白，为理解非线性椭圆方程解在复杂奇异集附近的精细结构提供了强有力的工具。此外，文中发展的技术，特别是对辅助函数的估计、Martin边界理论的应用以及处理非线性项的迭代技巧，对于处理类似几何测度论与非线性偏微分方程交叉领域的问题具有重要的方法论意义。最后，定理2.2中的反例构造清晰地划定了主定理成立的范围，指出了在超临界情形下附加条件不可或缺，这加深了人们对问题本质的理解。总之，这项研究是位势理论与非线性椭圆方程理论结合的一个深刻进展，为后续研究开辟了新的方向。