脉动管流中非线性最优扰动的巨大能量增长与湍流转变机制研究

《Journal of Fluid Mechanics》：Nonlinear optimal perturbation growth in pulsatile pipe flow

　　本研究针对脉动管流中线性Floquet稳定性无法解释实验观测到的湍流转变难题，研究人员通过开发基于GPU的伴随优化代码，系统探究了非线性最优扰动（NLOP）的增长动力学。研究发现，在减速阶段，局部化的斜向扰动能通过非线性效应获得超过9个量级的能量增长，并揭示了由Orr机制、瞬时线性不稳定性和升举效应共同主导的两条不同失稳路径。该研究不仅阐明了心血管系统中湍流产生的物理机制，也为预测脉动流动的转捩提供了新范式。

　　

在心血管系统中，血液的脉动流动与多种疾病的发生发展密切相关。然而，预测这种流动何时会从规则的层流状态突然转变为混乱的湍流状态，一直是流体力学领域的重大挑战。问题的核心在于，即使在大雷诺数（Re）下，脉动管流的层流解在线性Floquet稳定性理论框架下仍然是稳定的，这远高于实验中观察到湍流出现的雷诺数。这意味着失稳问题完全是非线性的，除了雷诺数、沃默斯利数（Wo）和脉动幅度（A）之外，还强烈依赖于流动扰动的形状和振幅。

为了攻克这一难题，Patrick Keuchel和Marc Avila在《Journal of Fluid Mechanics》上发表了他们的最新研究。他们开发了一种基于GPU伪谱Navier-Stokes求解器nspipe的伴随优化代码，并采用了自动最优检查点策略。利用这一强大工具，他们首次系统地探索了脉动管流中非线性最优扰动的演化规律，揭示了两种截然不同的失稳路径。

研究人员发现，流动在减速阶段和加速阶段分别对应着不同的不稳定性。在减速阶段，流动容易受到斜向不稳定的影响，其不稳定性在能量上更可能发生。具体而言，局部化的斜向扰动能够最优地利用非线性效应，在峰值雷诺数Re_max≈4000时获得超过九个数量级的能量增长。这些斜向扰动会饱和成规则的流动图案，这些图案在加速阶段衰减，或者根据流动参数分解为湍流。在加速阶段，最优扰动的放大程度要小得多，但如果其振幅足够大，通常也会触发湍流。

这项研究的关键在于采用了非线性非模态稳定性理论。研究人员通过定义拉格朗日函数，并引入伴随变量（如伴随速度u^?和伴随压力p^?），将寻找最大能量增长的最优扰动问题转化为一个约束优化问题。他们通过迭代的伴随循环程序求解直接Navier-Stokes方程和伴随Navier-Stokes方程，并利用梯度上升法不断更新初始扰动场，直至满足最优性条件。为了应对大规模计算的内存限制，他们发展了一种结合内存和磁盘的最优检查点策略，最大限度地提高了计算效率。计算在长度为L_z=50的管道中进行，确保了轴向局部化扰动不会因周期性边界条件而过早地自我相互作用。

线性最优在非线性区域的演化

研究发现，在减速阶段（τ₀=T/2），线性最优的螺旋扰动（m=±1）在有限振幅下无法有效利用非线性效应。而由一对对称的螺旋扰动叠加而成的斜向扰动，则能通过非线性相互作用将能量有效地转移到（m=±2, k=0）等模式，从而在加速阶段通过升举效应继续增长。

减速阶段的非线性最优扰动

对于参数（Re, Wo, A）=(2200, 5.6, 0.85)，在初始能量E₀=2.5×10^-7时，非线性最优扰动是轴向和方位角局部化的反射对称斜向扰动。其增长机制依次为：Orr机制初始助推、多种线性不稳定模式的指数增长、对称斜向波非线性相互作用将能量转移到低波数模式、以及通过升举效应形成强流向条纹。这种局部化极大地增强了非线性效应，使其最大增长因子G^max达到约1.34×10⁶，远高于简单缩放的线性最优扰动。

初始能量的影响

随着初始能量E₀的增加，最优扰动的形态和演化会发生显著变化。在低能区，最优扰动是线性最优的螺旋波。当E₀增大到约2.5×10^-7时，非线性最优扰动开始出现，并表现为局部化的斜向扰动。当E₀足够大时（约5×10^-5），扰动能够触发湍流斑，该斑在低雷诺数阶段快速衰减。

初始扰动时间的影响

扰动引入的时间点τ₀对最优扰动的性质和触发湍流的难易程度有决定性影响。在加速阶段初期（τ₀=0），线性最优是经典的流向涡对。其非线性最优在E₀≈1.5×10^-4时出现，形态与稳态管流相似，为局部化的流向速度层和壁面附近的涡结构，最大增长因子G^max=1183。当E₀≥2×10^-4时，可触发湍流。相比之下，在减速阶段（τ₀=T/2）触发湍流所需的初始能量要低得多（E₀^crit.≈5×10^-5），表明该阶段是能量上更有利的失稳路径。

脉动参数的影响

沃默斯利数Wo是影响最优扰动增长的关键参数。在中间Wo数（如8和12）下，减速阶段的非线性最优扰动能获得极高的增长，并容易触发湍流。在低Wo（准稳态）和高Wo（高频极限）下，最优扰动回归到稳态管流的经典形态，增长较小，触发湍流所需的能量也更高。脉动幅度A的降低也会削弱层流剖面的拐点特性，从而导致最优扰动增长率的下降。

湍流动力学

一旦湍流被触发，其后续动力学主要由瞬时雷诺数Re(t)主导。在高Wo数下，湍流斑（Puff）的动力学受脉动调制但持续存在。在中间Wo数下，会出现触发-衰减的循环序列。在低Wo数或低A情况下，湍流斑可能发展成剧烈膨胀的湍流团（Slug），并在高Re(t)阶段持续扩展。

本研究通过非线性最优扰动分析，揭示了脉动管流在中等脉动幅度下存在两条不同的失稳路径。在减速阶段和中间Wo数下，流动对斜向扰动极度敏感，这些扰动能通过结合Orr机制、瞬时线性不稳定性和升举效应，实现巨大的能量增长。而在加速阶段或低/高Wo数下，失稳机制则与稳态管流类似。研究指出，在对应于人体大动脉的参数范围内（中间Wo数，高A），非线性流动图案和湍流可能比通常认为的更为普遍。这项研究不仅深化了对脉动流动转捩机理的理解，也为心血管等领域的流动控制提供了重要的理论依据。该方法的成功应用，得益于其创新的伴随优化算法和高效的高性能计算实现，为研究其他复杂剪切流动的非线性稳定性问题树立了典范。