推导离散事件模拟中Royston/Parmar受限三次样条参数生存模型反演的解析解

《PharmacoEconomics》：Deriving an Analytical Solution to Inversion of Royston/Parmar Restricted Cubic Spline Parametric Survival Models for Discrete Event Simulation

　　离散事件模拟中事件时间估计效率优化研究。基于Royston/Parmar受限三次样条生存模型推导逆函数解析解，在Excel中通过VBA实现并与Goal Seek和混合Brent方法对比。结果显示解析解法平均执行时间仅0.612秒，较默认Goal Seek快94.2%，较Brent混合法快46.3%。研究证实解析逆函数可显著提升离散事件模拟中的事件时间生成效率，为量化分析提供新方法。

　　

摘要

背景与目标

离散事件模拟模型通过模拟事件发生的时间来代替使用参数生存模型提供的累积生存概率。这需要反转生存函数，以便从给定的生存估计值中推导出这些事件时间。虽然数值方法可以近似计算更复杂的生存模型的事件时间，但这一过程在大量模拟中重复进行时可能会非常耗时。我们的目标是推导出Royston/Parmar限制性三次样条参数生存模型的逆函数的解析解，并在Microsoft Excel中实现该解析解后，将其执行速度与数值近似方法（Goal Seek）以及使用Brent求根算法的混合方法进行比较。

方法

根据给定的累积生存估计值“\({S}_{*}\)”在Royston/Parmar限制性三次样条模型的边界节点对应的累积生存概率之间的位置，将三种情况类型进行分类，以确定解“t”在节点值之间的位置。对于情况1（t位于第一个节点之前）和情况3（t位于最后一个节点之后），会生成一个关于\(x=\) ln(t)的线性方程，并根据\({S}_{*}\)得出t的单一解。对于情况2（位于边界节点之间），会生成一个形式为a\(x\)³ + b \(x\)² + c \(x\) + d = 0的三次方程，并使用已发布的三次方程求解算法来获得正确的t解。然后，将Royston/Parmar限制性三次样条模型应用于已发布的结肠癌数据，并使用基于解析反演解的Visual Basic for Applications (VBA)中编写的用户定义函数，与两种Goal Seek方法（默认和更高精度）以及使用Brent方法的混合方法，在100次事件时间模拟重复实验中，对所有拟合模型的给定生存估计值范围（1%至99%）进行平均执行速度测试。

结果

在100次重复实验中，用户定义的样条反演函数的平均（标准差）执行速度为0.612（0.029）秒，而默认的Goal Seek方法为10.567（0.175）秒，更高精度的Goal Seek方法为12.230（0.265）秒，混合的Brent方法为1.140（0.114）秒，相应的平均执行时间分别减少了94.2%、95.0%和46.3%。

结论

可以推导出Royston/Parmar限制性三次样条模型的逆函数的解析解，从而能够根据给定的生存估计值精确估计事件时间，并显著提高Microsoft Excel中离散事件模拟的事件时间生成速度，相较于使用数值方法的近似方法，同时也有助于导出分位数函数。应进一步研究其他软件（如R）中的事件时间导出速度，将该解决方案扩展到时间变化的协变量，并确定解析反演解决方案的其他潜在应用场景。