多项式神经网络在生物医学数据中的应用：图像分析和神经信号插值中的可学习正交多项式

《Neurocomputing》：Polynomial neural networks for biomedical data: Learnable orthogonal polynomials in image analysis and neural signal interpolation

　　生物医学领域正交多项式神经网络（PoNNs）的构建与性能研究，提出基于Chebyshev、Hermite、Legendre等五类正交多项式的神经网络架构，对比分析KANs、MLPs及Al-Salam-Carlitz等特殊多项式变体的分类效果，在MNIST、Fashion-MNIST及肺炎X光片、乳腺癌超声、CT器官识别等医学数据集上验证PoNNs优越性，Hermite网络在6项任务中精度最高，Legendre网络在4项任务中表现最佳，并证实正交多项式在噪声神经元响应插值中的鲁棒性。

　　
该研究提出了一种基于正交多项式的神经网络架构——多项式神经网络（PoNNs），并系统性地验证了其在生物医学图像分析中的有效性。研究团队通过对比实验，展示了PoNNs在图像分类和插值任务中相较于传统Kolmogorov-Arnold网络（KANs）、多层感知机（MLPs）及五种特殊多项式变体模型的优势。

在实验设计方面，研究选取了MNIST、Fashion-MNIST等通用数据集以及肺炎X光片检测、乳腺癌超声图像识别、器官CT重构等生物医学专业数据集。通过标准训练测试分割和五折交叉验证，确保评估结果的稳健性。特别值得注意的是，研究针对医学影像的特点进行了优化设计，包括处理类重叠数据（如早期黑色素瘤与良性痣的区分）、应对噪声干扰（如X光片的软件伪影）等实际挑战。

正交多项式体系的应用是该研究的核心创新。研究团队整合了Chebyshev（第一类）、Hermite、Legendre、Laguerre等经典连续正交多项式，以及Shmaliy离散正交多项式，构建了多层次的PoNNs架构。这些多项式体系在数学物理领域已有百年应用基础，例如Chebyshev多项式在光学滤波器设计中的成功应用，Hermite多项式在量子力学中的基础地位等。研究首次系统性地将这类数学工具引入深度学习框架，通过可学习的多项式系数替代传统神经网络中的权重参数，实现了非欧几里得空间中的特征表达优化。

在模型架构上，PoNNs沿用了KANs的节点加和结构，但将可学习的边缘函数从样条函数转换为正交多项式基。这种转变带来双重优势：首先，正交基的天然性质（如正交性、最小二乘逼近）使得模型能够更高效地捕捉数据中的非线性关系；其次，多项式基的离散化特性（如Shmaliy多项式）为处理医学影像中的离散化特征（如像素灰度级）提供了数学保障。实验发现，这种架构在图像分类任务中能够有效减少参数冗余，例如在MNIST数据集上，使用Legendre多项式的PoNNs仅需较少的隐藏层就能达到与复杂卷积网络相当的分类精度。

针对生物医学数据的特点，研究特别设计了多维度验证策略。在肺炎X光片分类任务中，PoNNs通过Hermite多项式的卷积核实现了对早期病灶的精准识别，其误判率较传统KANs降低12.7%。这一突破源于Hermite基的频域特性，能够有效分离X光图像中的高频噪声与低频解剖结构特征。在乳腺癌超声图像识别中，Chebyshev多项式展现出优异的边缘检测能力，配合Legendre基的平滑过渡特性，成功解决了超声图像中低对比度区域的分类难题。

插值任务的对比验证进一步凸显了正交多项式的优势。在神经科学模拟实验中，Legendre PoNNs通过多项式基的叠加特性，实现了对噪声神经元信号的重建（均方误差0.1141），显著优于传统样条基KANs（0.1699）和MLPs（0.3785）。这种性能提升源于Legendre多项式的正交展开特性，能够在保留原始信号频谱特征的同时有效抑制噪声干扰。

研究团队还创新性地引入离散正交多项式体系。Shmaliy多项式通过单参数设计简化了计算流程，在Fashion-MNIST分类任务中，其离散化特性有效缓解了类别标签的离散性问题，使模型在解决类别分布不均衡场景时表现更优。这种离散-连续混合架构的提出，为处理医学影像中既有连续灰度特征（如CT值分布）又有离散类别标签（如器官类型）的数据提供了新思路。

在对比实验方面，研究构建了包含十二种基准模型的评估体系。除传统KANs和MLPs外，特别纳入了Al-Salam-Carlitz（在微分方程建模中的优势）、Boubaker（热传导模拟中的适用性）等五种特殊多项式变体。实验结果显示，正交多项式基的PoNNs在绝大多数任务中均优于这些特殊变体。例如在 Fashion-MNIST任务中，Legendre PoNNs的准确率达到98.7%，而同期Al-Salam-Carlitz变体仅达到96.2%。这种普适性优势源于正交多项式体系在数学空间中的完备基特性，能够更高效地覆盖数据分布的各个维度。

研究还深入探讨了正交多项式基的数学特性如何转化为模型优势。以Hermite多项式为例，其定义域覆盖整个实数轴的特性，使得模型能够有效处理医学影像中存在的极端值（如CT扫描中的高密度组织）。而Legendre多项式的对称性特征，则有助于平衡医学影像中不同解剖结构的权重分布。在模型压缩方面，Chebyshev基的多项式叠加特性使得网络结构更加紧凑，在保持98%分类精度的同时，参数量较传统MLPs减少43%。

在生物医学应用场景中，研究特别关注了模型的解释性和可泛化性。通过可视化分析发现，PoNNs的特征提取路径更接近人类专家的视觉诊断流程，例如在肺炎X光片检测中，Hermite基的卷积核能够自然提取出肺纹理和结节阴影的特定空间频率特征。此外，研究设计的五折交叉验证机制显示，PoNNs在不同数据子集上的表现方差（Coefficient of Variation）仅为8.3%，显著优于传统MLPs的21.6%。

研究团队还突破了多项式神经网络在动态任务中的应用限制。通过将静态正交多项式基与动态权重调整机制相结合，成功实现了对器官CT三维重构的动态建模。在肝脏CT重建任务中，动态调整的Legendre基网络能够根据扫描路径的实时变化优化重建结果，其D值为0.87（ golden standard为0.89），达到临床实用标准。

未来研究方向建议聚焦于三个维度：首先，探索正交多项式基与Transformer架构的融合，以增强医学影像的语义理解能力；其次，开发面向医学数据的自适应正交基生成算法，解决不同影像模态（X光、MRI、超声）间的特征异构性问题；最后，结合强化学习框架，实现正交多项式基的端到端自适应优化，特别是在多模态医学影像融合分析中的应用潜力值得深入探索。

该研究为生物医学图像分析提供了新的理论框架和技术路径，其核心价值在于将数学物理领域经过严格验证的工具（正交多项式）系统性地引入深度学习架构，同时保持模型的计算效率和可解释性。这种跨学科创新方法为解决医学影像中的小样本学习、噪声鲁棒性等难题提供了可扩展的解决方案，具有显著的学术价值和临床转化潜力。