旋转圆柱内球体轴向振荡激发的惯性波与泰勒柱非线性动力学研究

《Journal of Fluid Mechanics》：Axial oscillations of a sphere in a rotating cylinder

　　为探究局部强迫下旋转流体中惯性波与容器模态的相互作用机制，研究人员通过数值模拟研究了快速旋转圆柱内小球轴向谐波振荡驱动的流动。发现当振荡频率小于两倍旋转频率时，响应流动会从球体临界纬度发射锥形剪切层，并在特定频率下共振激发圆柱的线性无粘惯性模态。非线性效应会导致非谐波振荡和具有泰勒柱结构的非零平均流，这对理解天体物理和工业流动中的波-平均流相互作用具有重要意义。

　　

当我们快速旋转一个装有液体的圆柱形容器时，内部流体会展现出令人着迷的波动现象——惯性波。这种由于科里奥利力的恢复特性而产生的波动，在海洋、大气、天体物理和工业流动中扮演着重要角色。早在19世纪末，开尔文爵士就开始研究旋转容器中的波动模态，而二十世纪中叶以来的实验研究更是揭示了惯性波的复杂行为。

然而，长期以来存在一个令人困惑的问题：当我们在旋转流体中局部引入一个小型振荡扰动时，会产生什么样的流动响应？早期的理论预测，小型振荡体只会发射出锥形的惯性波束，而不会共振激发整个容器的全局模态。但实验观察却暗示，在某些条件下容器的固有模态确实可能被激发，同时还会形成类似泰勒柱的柱状结构。这种理论与实验之间的差异，源于实验环境中不可避免的非线性效应和边界反射的复杂性。

为了解决这一难题，发表在《Journal of Fluid Mechanics》上的最新研究通过高精度数值模拟，系统探究了旋转圆柱内小球轴向振荡驱动的流动响应。研究人员设定了与实验相符的参数条件：Ekman数(E=v/ΩH²)为1.77×10^-6，径向和轴向纵横比分别为a_R=16和a_H=32，系统考察了无量纲振幅α(0.000476至0.476)和频率ω(0.050至0.995)的影响。

研究方法上，团队采用基于浸入边界法的分数步算法，在轴对称假设下求解Navier-Stokes方程。空间离散使用非均匀网格上的二阶有限差分法，时间推进采用三阶Runge-Kutta格式，其中非线性项显式处理，粘性项隐式处理。为确保计算准确性，进行了网格无关性验证，最终采用150×300的网格分辨率。每个模拟需约3000个振荡周期以达到同步状态。

线性响应特征

当强迫振幅足够小(α→0)时，系统呈现线性响应。研究发现，当振荡频率小于两倍旋转频率(0<σ<2Ω)时，流动响应的主要特征是从球体临界纬度发射的锥形剪切层。

图2展示了系统响应的全局度量——平均涡能(Enstrophy)和平均动能随频率的变化。在整个惯性频率范围内，响应图谱呈现出丰富的峰值和谷值结构，这反映了惯性波反射之间的建设性或破坏性干涉，以及与共振腔模态的相互作用。

图3清晰地显示了从球体临界纬度发射的锥形剪切层结构，其锥角与线性无粘色散关系给出的特征方向一致。这些剪切层在容器壁面上的反射以及它们在接近轴心时的几何聚焦效应也十分明显。在小的Ekman数(E=1.77×10^-6)条件下，剪切层在经历多次反射后仍能保持较好的 coherence。

研究还发现，在特定强迫频率下，圆柱的线性无粘惯性模态(Kelvin模态)会被共振激发。这些共振模态的空间对称性必须与强迫系统的对称性相容。值得注意的是，局部强迫不仅与频率有关，强迫的空间尺度也对选择共振的Kelvin模态起着关键作用。球体直径主导了锥形剪切层的空间尺度，加上反射波在圆柱内的分布方式，共同决定了哪个Kelvin模态被共振。

非线性响应特征

随着强迫振幅α的增加，系统表现出丰富的非线性行为。当α较小时(如α=0.0476)，响应流动仍保持周期性并与强迫同步，但已显现非线性特征。

图6显示，当ω≥0.380时，时间平均流中出现强烈的柱状结构。在峰值响应频率下(ω≥0.410)，轴心区域出现了一个柱状的正值(气旋性)平均轴向涡量^-ζ^-，其径向范围略小于球体半径，从球体延伸至上下端壁，且在远离球体和剪切层交汇区域呈现轴向不变性，即所谓的地转带状流。

当强迫振幅进一步增大至α=0.476(相当于Messio等人的实验条件)时，响应流动表现出强烈的非线性特征：泰勒柱强度大幅增加(约十倍于弱非线性情况)；振荡球体上的边界层发生分离；响应流动打破了时空对称性H_sym，不再与强迫同步。

图8量化了从线性到弱非线性再到非线性响应的转变过程。在弱非线性区域，平均流的涡能E(^-v^-)随α²缩放，而当α超过约2×10^-3时，缩放关系转变为线性，表明系统行为从准线性向非线性过渡。

与实验对比

研究还特别对比了球体与圆盘振荡的响应差异，以及中心强迫与非中心强迫的影响。图9显示，当振荡体偏离中心位置时，系统缺乏H_sym对称性，这影响了反射锥形剪切层的模式，也使得共振轴对称Kelvin模态变得高度不可能。

与Messio等人实验数据的对比表明(图10)，模拟结果与实验测量在r?2区域大致吻合，而在r≤1的轴心区域，模拟显示存在强烈的气旋性平均涡量，这与实验报告中误标为反气旋的结果形成对比，可能是由于实验测量中相机视角造成的误解。

研究意义与展望

这项研究通过系统的参数空间探索，澄清了局部强迫下旋转流体中波动响应的复杂动力学。主要结论包括：首先，即使是很小的局部强迫，在特定频率下也能共振激发容器的全局惯性模态，这与传统认知形成对比；其次，非线性效应在远小于实验常用振幅的条件下就开始显著影响流动响应，导致平均流的形成和对称性破缺；第三，轴心区域的柱状结构确实是非线性效应的产物，其强度在弱非线性区随振幅平方缩放，在强非线性区转为线性缩放。

该研究不仅解决了实验与理论之间的长期争议，还为理解旋转流体中波-平均流相互作用提供了新的视角。对于天体物理领域，如行星内部流动、恒星对流区中的波传播等问题具有重要启示；对于工业应用，如旋转机械内部的流动控制也有参考价值。未来研究可进一步探索非轴对称情况下的三维失稳机制，以及更高雷诺数下的湍流转变过程。