垂直跳跃中力-速度-位置关系的数学模型构建及其在运动表现优化中的应用

　　本研究针对多关节运动中力产生机制建模的难题，创新性地将单关节运动的F(v)和F(p)模型整合应用于垂直跳跃的推离阶段。通过15名CrossFit运动员的负重跳跃测试，验证了六种F(v,p)组合模型（含Anderson、Hill、Linear三种F(v)模型与Cosine、Quadratic两种F(p)模型）的拟合效果。结果显示所有模型均能高精度拟合实验数据（r2 0.885-0.886，RMSE 262.6-266.5 N），其中线性F(v)模型因其参数（Fmax 、vmax 、popt ）的生理可解释性更具应用价值，为运动生物力学建模提供了新范式。

　　

在运动科学和生物力学领域，理解人体如何产生力量始终是核心课题。传统研究多聚焦单关节运动的力-速度(F(v))和力-长度关系，但当面对垂直跳跃这类多关节协调的复合动作时，现有模型就显得力不从心。这就像试图用零件说明书来预测整台机器的性能——虽然每个关节的力学特性已知，但整体输出却难以准确预估。更棘手的是，垂直跳跃表现还受推离阶段身体重心(CM)位置变化的显著影响，这种动态耦合效应使得建立精确的数学模型变得异常复杂。

正是针对这一科学难题，中国的研究团队开展了一项开创性研究。他们巧妙地将单关节运动的建模思路拓展到多关节领域，通过整合三种F(v)模型（Anderson、Hill、Linear）和两种F(p)模型（Cosine、Quadratic），构建了六种力-速度-位置(F(v,p))关系模型。这项发表在《Journal of Biomechanics》的研究，不仅验证了模型的有效性，更为运动表现评估提供了新的量化工具。

研究团队招募了15名训练有素的CrossFit运动员（平均年龄27±7岁），通过力台记录不同负重和起跳深度下的地面反作用力(GRF)。关键技术包括：1）使用Butterworth滤波器处理GRF信号；2）通过数值积分计算CM位置和速度；3）非线性最小二乘法拟合模型参数；4）采用r²
和RMSE评估模型性能。特别值得注意的是，研究聚焦推离阶段0-80%深度范围，排除了初始80ms的亚最大激活期，确保数据分析反映最大自主用力特征。

【力-速度模型验证】研究发现三种F(v)模型（And、Hill、Lin）的拟合优度无显著差异，这与多数参与者表现出的近线性F(v)关