基于部分标记数据的函数型数据回归与分类方法研究

　　本文推荐一项关于缺失数据下函数型数据回归与分类的创新研究。针对响应变量存在缺失（MNAR机制）的问题，研究人员提出了一种基于两步估计和验证似然的新方法，通过构建半参数选择概率模型和核回归估计，实现了回归函数和分类器的有效估计。该方法在理论上证明了估计量的相合性，并通过数值模拟验证了其优越性能，为处理复杂缺失数据提供了重要工具。

　　

在统计学和生物医学研究中，函数型数据（functional data）分析正日益受到关注，这类数据通常表现为曲线、图像或时间序列等形式。然而，在实际应用中，响应变量缺失（missing response）的问题十分普遍，尤其是当缺失机制为非随机缺失（MNAR, Missing Not At Random）时，传统方法如完整案例分析（complete-case analysis）往往会产生有偏估计。这一挑战在医学诊断、流行病学调查和金融预测等领域尤为突出，因此开发能够处理MNAR机制下函数型数据的方法具有重要意义。

近期发表在《Journal of Multivariate Analysis》上的一项研究，针对上述问题提出了一种新颖的解决方案。该研究由国内团队完成，致力于在响应变量存在非随机缺失的情况下，实现函数型协变量（functional covariate）与响应变量之间回归关系（regression function）的有效估计，并进一步构建分类器（classifier）用于预测。

为了开展研究，作者主要采用了几个关键技术方法：首先，利用核回归（kernel regression）技术基于部分标记数据（partially labeled data）进行函数型回归估计；其次，通过验证似然（validation likelihood）方法估计选择概率模型（selection probability model）中的未知函数；此外，研究还涉及数据分拆（data splitting）策略，将样本分为训练集和测试集，以优化模型选择；数值模拟中使用了Epanechnikov型核函数，并借助R软件包“fda.usc”进行实现。样本数据通过模拟生成，其中函数型协变量被构造为二次型随机过程，响应变量则根据两种不同噪声水平的模型产生。

研究结果部分，作者通过理论推导和数值实验全面验证了所提方法的有效性。

理论结果方面，论文在适当假设下建立了估计量的相合性（consistency）。Theorem 1表明，在假设A0-A8成立时，回归估计量m?(χ;φ?_n)的L^p误差几乎完全（a.co.）收敛于真实回归函数。Theorem 2则进一步证明，基于该回归估计构建的分类器T?_n(χ;φ?_n)的误分类误差也几乎完全收敛于贝叶斯分类器（Bayes classifier）的误差。这些理论结果为方法的可靠性提供了严格保障。

数值模拟结果显示，新方法在多种缺失比例下均表现优异。如表1-3所示，当缺失比例为50%时，所提估计量的L²误差显著低于完整案例估计量，且与无缺失情况下的估计量性能接近。值得注意的是，随访子样本（follow-up subsample）的平均规模非常小（仅1-3个样本），表明该方法在实际应用中具有高效性。图2的箱线图进一步直观展示了不同设置下各估计量的误差分布，新方法始终表现出更优且更稳定的性能。

研究结论与讨论部分强调，该工作首次系统解决了MNAR机制下函数型数据的回归与分类问题。通过融合半参数建模和验证似然思想，所提方法有效克服了缺失数据带来的偏差，同时避免了大规模随访调查的成本问题。理论方面，建立的相合性结果为领域提供了新的理论基准；应用方面，该方法为医学诊断（如基于影像数据的疾病分类）、经济预测等需处理复杂缺失数据的领域提供了实用工具。未来研究可进一步探索高维设置、更复杂的缺失机制以及深度学习等现代技术的集成。