非均匀时间网格下Caputo-Hadamard分数阶反应-扩散方程的高阶数值方法研究及其在生物数学建模中的应用

　　本文提出一种基于非均匀时间网格的高阶数值方法，有效解决了Caputo-Hadamard分数阶反应-扩散方程（CHFRDE）的初始奇异性问题。通过构建特殊分级时间网格（L1近似公式）和四阶紧致差分格式，实现了O(Nα-2+h4)的最优收敛阶，为生物数学中的多尺度现象（如异常扩散、黏弹性响应）提供了强鲁棒性计算工具。

　　

Section snippets

The construction of nonuniform meshes

空间域[0,L]采用均匀网格划分（步长h=L/M），而时间域[a,T]则通过创新性非均匀网格处理Caputo-Hadamard分数阶问题特有的初始奇异性。时间网格点定义为t_k=a+k(4k²-1)β/3，其中β=3(T-a)/[N(2N+1)(2N-1)]。这种分级网格结构像一把"数学手术刀"，精准捕捉了t→a⁺时出现的(log t)^α-1型奇异行为，为后续高阶数值计算奠定基础。

Establishment of differential scheme

引入网格函数空间U_h和差分算子（δ_x, δ_x²），构建内积与范数体系。空间离散采用四阶紧致格式，通过算子A实现高效计算。Lemma 3.1揭示了离散算子的数学性质，确保格式的数学严谨性——就像为生物系统中的多尺度传输过程搭建了精准的"计算脚手架"。

Theoretical analysis of the difference scheme

Lemma 4.1-4.2建立了离散范数等价关系与能量不等式，证明格式具有无条件稳定性。通过双线性形式I(·,·)和能量分析，揭示了算法在模拟生物扩散过程（如细胞迁移、药物扩散）中的数学可靠性，犹如为分数阶动力学系统安装了"数学稳定器"。

Numerical examples

Example 5.1通过测试函数f(t)=(log t)³验证公式在α极端值（0.01, 0.1, 0.9, 0.99）下的表现。结果显示该方法在模拟生物系统的幂律增长过程（如肿瘤生长、神经网络传导）时具有惊人精度，即使对于近乎整数阶的分数阶导数也能保持计算稳定性。

Conclusion

本研发展开的非均匀网格L1格式与四阶紧致差分组合，成功攻克了Caputo-Hadamard导数初始奇异性难题。理论证明的O(N^α-2+h⁴)收敛阶为生物数学建模（如组织渗透、生理信号传导）提供了强有力工具，数值实验完美验证了其在描述多尺度生物现象中的卓越性能。

CRediT authorship contribution statement

Siyuan Chen: 原始稿件撰写

Hengfei Ding: 文稿审阅与学术指导