基于Hilfer分数阶导数的人类肝脏动力学建模：数值与临床验证研究

　　本研究创新性地将Hilfer分数阶导数引入肝脏动力学模型，通过拉普拉斯同伦分析变换法（LHAM）求解，并开展数值模拟与临床数据验证。结果表明，该模型在描述肝脏溴硫酚（BSP）代谢过程中显著优于传统整数阶模型，为生物系统记忆效应与非局部过程建模提供了更精确的数学工具。

　　

Section snippets

Riemann–Liouville分数阶积分

对于函数 u(x) ∈ L(a,b) 且复阶数 γ 满足 ?(γ) > 0，Riemann–Liouville分数阶积分定义为：

^RLI_a^γu(x) = [1/Γ(γ)] ∫_a^x (x-t)^γ-1u(t)dt, x > a。

Riemann–Liouville分数阶导数

当 γ > 0 且 n = ?γ? 时，Riemann–Liouville分数阶导数定义为：

^RLD_a^γu(x) = [1/Γ(n-γ)] dⁿ/dxⁿ ∫_a^x (x-t)^γ-nu(t)dt, n = ?γ?。

Caputo分数阶算子

对于充分光滑的函数 u(x)，其阶数为 γ 的Caputo导数定义为：

^CD_a^γu(x) = [1/Γ(n-γ)] ∫_a^x (x-t)^n-γ-1u⁽ⁿ⁾(t)dt，

其中 n = ?γ? 是大于 γ 的最小整数。

Hilfer分数阶导数

（定义部分原文未完整呈现，保留原文描述框架）

分数阶模型

2004年Celechovská基于溴硫酚（BSP）测试临床数据提出了整数阶肝脏动力学模型。该模型中，血液与肝脏中的BSP含量分别记为 ζ(τ) 和 ω(τ)，通过微分方程组系统描述肝脏功能。

数值方法

采用拉普拉斯同伦分析法（LHAM）结合拉普拉斯变换与同伦分析技术，高效求解分数阶模型(15)。设定参数 (1-α)(1-β)=θ, (1-α)β=η，经拉普拉斯变换后得到：

L[ζ(τ);s] ? [I^θζ(0)/s^η+α] + [1/s^α] L[λζ(τ)?ρω(τ);s] = 0,

L[ω(τ);s] ? [I^θω(0)/s^η+α] + [1/s^α] L[?λζ(τ)+(ρ+κ)ω(τ);s] = 0。

其中 I^θζ(0) 和 I^θω(0) 为分数阶初始条件，ζ(0)=ζ₀, ω(0)=ω₀。

存在性与唯一性定理

定理1

设 0<α<1, 0≤β≤1 且 λ,ρ,κ ∈ r>0。在具有初始条件 I^θζ(0)=ζ₀, I^θω(0)=ω₀ 的系统(15)中，存在唯一连续函数对 ζ(τ), ω(τ) 在 [0,T] 上满足系统要求。

证明

结合初始条件与方程(15)，应用拉普拉斯变换公式(11)得到：

s^αL{ζ(τ)} ? s^-ηζ₀ = ?λL{ζ(τ)} + ρL{ω(τ)},

s^αL{ω(τ)} ? s^-ηω₀ = λL{ζ(τ)} ? (ρ+κ)L{ω(τ)}。

（证明部分后续步骤原文未完整呈现）

讨论

参数取值基于前人研究：λ=0.054736, ρ=0.0152704, κ=0.0093906, ζ₀=250, ω₀=0。分数阶参数 α 和 β 作为可调参数在生理合理范围内优化以匹配临床数据。图1展示了当 α=0.5, h=?1, H=1 时，β取0.5至1的LHAM解。

结论

将方程组(21)的解与真实数据、HATM和ADM方法对比。表1与表2定量比较了ζ(τ)和ω(τ)的预测结果，显示LHAM结果最接近实验数据，误差棒分析（图1、图3）进一步验证其捕捉肝脏时空动态的优越能力。